Основы мат. анализа Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} (1 - 4 x^{3})}{x^{4} (2 x + 1)}$

Этап 1

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{4} (2 x + 1)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} (1 - 4 x^{3})}{x^{2} (x^{2} (2 x + 1))}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} (1 - 4 x^{3})}{x^{2} (x^{2} (2 x + 1))}$

Этап 1.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - 4 x^{3}}{x^{2} (2 x + 1)}$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - 4 x^{3}}{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 1}$

Этап 2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - 4 x^{3}}{2 x^{2} x + x^{2} \cdot 1}$

Этап 2.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - 4 x^{3}}{2 x^{2} x + x^{2}}$

Этап 2.4

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перенесем $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - 4 x^{3}}{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2}}$

Этап 2.4.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - 4 x^{3}}{2 (x^{1} x^{2}) + x^{2}}$

Этап 2.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - 4 x^{3}}{2 x^{1 + 2} + x^{2}}$

Этап 2.4.3

Добавим $1$ и $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - 4 x^{3}}{2 x^{3} + x^{2}}$

Этап 3

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} + \frac{- 4 x^{3}}{x^{3}}}{\frac{2 x^{3}}{x^{3}} + \frac{x^{2}}{x^{3}}}$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сократим общий множитель $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} + \frac{- 4 x^{3}}{x^{3}}}{\frac{2 x^{3}}{x^{3}} + \frac{x^{2}}{x^{3}}}$

Этап 4.1.2

Разделим $- 4$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} - 4}{\frac{2 x^{3}}{x^{3}} + \frac{x^{2}}{x^{3}}}$

Этап 4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} - 4}{\frac{2 x^{3}}{x^{3}} + \frac{x^{2}}{x^{3}}}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} - 4}{2 + \frac{x^{2}}{x^{3}}}$

Этап 4.2.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Умножим на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} - 4}{2 + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{3}}}$

Этап 4.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} - 4}{2 + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x}}$

Этап 4.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} - 4}{2 + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x}}$

Этап 4.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} - 4}{2 + \frac{1}{x}}$

Этап 4.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}} - 4}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Этап 4.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}} - lim_{x \to \infty} 4}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Этап 5

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x^{3}}$ стремится к $0$ .

$\frac{0 - lim_{x \to \infty} 4}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Этап 6

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Этап 6.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Этап 6.3

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 4}{2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Этап 7

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x}$ стремится к $0$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 4}{2 + 0}$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Сократим общий множитель $0 - 1 \cdot 4$ и $2 + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Перепишем $0$ в виде $- 1 (0)$ .

$\frac{- 1 (0) - 1 \cdot 4}{2 + 0}$

Этап 8.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 \cdot 4$ .

$\frac{- 1 (0) - 1 (4)}{2 + 0}$

Этап 8.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (0) - 1 (4)$ .

$\frac{- 1 (0 + 4)}{2 + 0}$

Этап 8.1.4

Вынесем множитель $2$ из $- 1 (0 + 4)$ .

$\frac{2 (- 1 (0 + 2))}{2 + 0}$

Этап 8.1.5

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.5.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (- 1 (0 + 2))}{2 (1) + 0}$

Этап 8.1.5.2

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$\frac{2 (- 1 (0 + 2))}{2 \cdot 1 + 2 \cdot 0}$

Этап 8.1.5.3

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 1 + 2 \cdot 0$ .

$\frac{2 (- 1 (0 + 2))}{2 \cdot (1 + 0)}$

Этап 8.1.5.4

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- 1 (0 + 2))}{2 \cdot (1 + 0)}$

Этап 8.1.5.5

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1 (0 + 2)}{1 + 0}$

Этап 8.2

Добавим $0$ и $2$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{1 + 0}$

Этап 8.3

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{1}$

Этап 8.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{- 2}{1}$

Этап 8.5

Разделим $- 2$ на $1$ .

$- 2$