Основы мат. анализа Примеры

$\sum_{k = 1}^{8} 4 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}$

Этап 1

Сумму конечного геометрического ряда можно найти по формуле $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , где $a$ — первый член, а $r$ — отношение между последовательными членами.

Этап 2

Найдем отношение последовательных членов, подставив в формулу $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим $a_{k}$ и $a_{k + 1}$ в формулу для $r$ .

$r = \frac{4 {(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}}{4 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$r = \frac{4 {(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}}{4 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

Этап 2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

Этап 2.2.2

Сократим общий множитель ${(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}$ и ${(\frac{2}{3})}^{k - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вынесем множитель ${(\frac{2}{3})}^{k - 1}$ из ${(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

Этап 2.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Умножим на $1$ .

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} \cdot 1}$

Этап 2.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} \cdot 1}$

Этап 2.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{1}$

Этап 2.2.2.2.4

Разделим ${(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}$ на $1$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}$

Этап 2.2.3

Добавим $k$ и $0$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{k - (k - 1)}$

Этап 2.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$r = {(\frac{2}{3})}^{k - k - - 1}$

Этап 2.2.4.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{k - k + 1}$

Этап 2.2.5

Вычтем $k$ из $k$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{0 + 1}$

Этап 2.2.6

Добавим $0$ и $1$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{1}$

Этап 2.2.7

Упростим.

$r = \frac{2}{3}$

Этап 3

Найдем первый член ряда, подставив начальное значение и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $1$ вместо $k$ в $4 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}$ .

$a = 4 {(\frac{2}{3})}^{1 - 1}$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$a = 4 {(\frac{2}{3})}^{0}$

Этап 3.2.2

Применим правило умножения к $\frac{2}{3}$ .

$a = 4 \frac{2^{0}}{3^{0}}$

Этап 3.2.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$a = 4 \frac{1}{3^{0}}$

Этап 3.2.4

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$a = 4 (\frac{1}{1})$

Этап 3.2.5

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Сократим общий множитель.

$a = 4 (\frac{1}{1})$

Этап 3.2.5.2

Перепишем это выражение.

$a = 4 \cdot 1$

Этап 3.2.6

Умножим $4$ на $1$ .

$a = 4$

Этап 4

Подставим знаменатель, первый член и количество членов геометрической прогрессии в формулу суммы.

$4 \frac{1 - {(\frac{2}{3})}^{8}}{1 - \frac{2}{3}}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Умножим $\frac{1 - {(\frac{2}{3})}^{8}}{1 - \frac{2}{3}}$ на $\frac{3}{3}$ .

$4 (\frac{3}{3} \cdot \frac{1 - {(\frac{2}{3})}^{8}}{1 - \frac{2}{3}})$

Этап 5.1.2

Объединим.

$4 \frac{3 (1 - {(\frac{2}{3})}^{8})}{3 (1 - \frac{2}{3})}$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{2}{3})}$

Этап 5.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2}{3}$ в числитель.

$4 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 2}{3})}$

Этап 5.3.2

Сократим общий множитель.

$4 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 2}{3})}$

Этап 5.3.3

Перепишем это выражение.

$4 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 - 2}$

Этап 5.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Умножим $3$ на $1$ .

$4 \frac{3 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 - 2}$

Этап 5.4.2

Применим правило умножения к $\frac{2}{3}$ .

$4 \frac{3 + 3 (- \frac{2^{8}}{3^{8}})}{3 \cdot 1 - 2}$

Этап 5.4.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2^{8}}{3^{8}}$ в числитель.

$4 \frac{3 + 3 \frac{- 2^{8}}{3^{8}}}{3 \cdot 1 - 2}$

Этап 5.4.3.2

Вынесем множитель $3$ из $3^{8}$ .

$4 \frac{3 + 3 \frac{- 2^{8}}{3 \cdot 3^{7}}}{3 \cdot 1 - 2}$

Этап 5.4.3.3

Сократим общий множитель.

$4 \frac{3 + 3 \frac{- 2^{8}}{3 \cdot 3^{7}}}{3 \cdot 1 - 2}$

Этап 5.4.3.4

Перепишем это выражение.

$4 \frac{3 + \frac{- 2^{8}}{3^{7}}}{3 \cdot 1 - 2}$

Этап 5.4.4

Возведем $2$ в степень $8$ .

$4 \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 256}{3^{7}}}{3 \cdot 1 - 2}$

Этап 5.4.5

Возведем $3$ в степень $7$ .

$4 \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

Этап 5.4.6

Умножим $- 1$ на $256$ .

$4 \frac{3 + \frac{- 256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

Этап 5.4.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$4 \frac{3 - \frac{256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

Этап 5.4.8

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2187}{2187}$ .

$4 \frac{3 \cdot \frac{2187}{2187} - \frac{256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

Этап 5.4.9

Объединим $3$ и $\frac{2187}{2187}$ .

$4 \frac{\frac{3 \cdot 2187}{2187} - \frac{256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

Этап 5.4.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 \frac{\frac{3 \cdot 2187 - 256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

Этап 5.4.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.11.1

Умножим $3$ на $2187$ .

$4 \frac{\frac{6561 - 256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

Этап 5.4.11.2

Вычтем $256$ из $6561$ .

$4 \frac{\frac{6305}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

Этап 5.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Умножим $3$ на $1$ .

$4 \frac{\frac{6305}{2187}}{3 - 2}$

Этап 5.5.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$4 \frac{\frac{6305}{2187}}{1}$

Этап 5.6

Разделим $\frac{6305}{2187}$ на $1$ .

$4 (\frac{6305}{2187})$

Этап 5.7

Умножим $4 (\frac{6305}{2187})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Объединим $4$ и $\frac{6305}{2187}$ .

$\frac{4 \cdot 6305}{2187}$

Этап 5.7.2

Умножим $4$ на $6305$ .

$\frac{25220}{2187}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{25220}{2187}$

Десятичная форма:

$11.53177869 \dots$

Форма смешанных чисел:

$11 \frac{1163}{2187}$