Основы мат. анализа Примеры

$(2 \sqrt{3}, - 2)$

Этап 1

Преобразуем $(x, y)$ из прямоугольных координат в полярные $(r, θ)$ , используя формулы перевода.

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 2

Заменим $x$ и $y$ фактическими значениями.

$r = \sqrt{{(2 \sqrt{3})}^{2} + {(- 2)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3

Найдем абсолютную величину полярной координаты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Применим правило умножения к $2 \sqrt{3}$ .

$r = \sqrt{2^{2} {\sqrt{3}}^{2} + {(- 2)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$r = \sqrt{4 {\sqrt{3}}^{2} + {(- 2)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{4 {\sqrt{3}}^{2} + {(- 2)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.2

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$r = \sqrt{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- 2)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \sqrt{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- 2)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$r = \sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(- 2)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$r = \sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(- 2)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.2.4.2

Перепишем это выражение.

$r = \sqrt{4 \cdot 3 + {(- 2)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{4 \cdot 3 + {(- 2)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.2.5

Найдем экспоненту.

$r = \sqrt{4 \cdot 3 + {(- 2)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{4 \cdot 3 + {(- 2)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $4$ на $3$ .

$r = \sqrt{12 + {(- 2)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.3.2

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$r = \sqrt{12 + 4}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.3.3

Добавим $12$ и $4$ .

$r = \sqrt{16}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.3.4

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$r = \sqrt{4^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$r = 4$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = 4$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = 4$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 4

Заменим $x$ и $y$ фактическими значениями.

$r = 4$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{- 2}{2 \sqrt{3}})$

Этап 5

Обратная функция тангенса $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ равна $θ = 330 °$ .

$r = 4$

$θ = 330 °$

Этап 6

Это результат преобразования в полярные координаты в виде $(r, θ)$ .

$(4, 330 °)$