Основы мат. анализа Примеры

$(3, \frac{2 π}{3})$

Этап 1

Преобразуем $(x, y)$ из прямоугольных координат в полярные $(r, θ)$ , используя формулы перевода.

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 2

Заменим $x$ и $y$ фактическими значениями.

$r = \sqrt{{(3)}^{2} + {(\frac{2 π}{3})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3

Найдем абсолютную величину полярной координаты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$r = \sqrt{9 + {(\frac{2 π}{3})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.2

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим правило умножения к $\frac{2 π}{3}$ .

$r = \sqrt{9 + \frac{{(2 π)}^{2}}{3^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.2.2

Применим правило умножения к $2 π$ .

$r = \sqrt{9 + \frac{2^{2} π^{2}}{3^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{9 + \frac{2^{2} π^{2}}{3^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$r = \sqrt{9 + \frac{4 π^{2}}{3^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.4

Возведем $3$ в степень $2$ .

$r = \sqrt{9 + \frac{4 π^{2}}{9}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.5

Чтобы записать $9$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9}{9}$ .

$r = \sqrt{9 \cdot \frac{9}{9} + \frac{4 π^{2}}{9}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.6

Объединим $9$ и $\frac{9}{9}$ .

$r = \sqrt{\frac{9 \cdot 9}{9} + \frac{4 π^{2}}{9}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$r = \sqrt{\frac{9 \cdot 9 + 4 π^{2}}{9}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.7.2

Умножим $9$ на $9$ .

$r = \sqrt{\frac{81 + 4 π^{2}}{9}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{81 + 4 π^{2}}{9}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.8

Перепишем $\sqrt{\frac{81 + 4 π^{2}}{9}}$ в виде $\frac{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}{\sqrt{9}}$ .

$r = \frac{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}{\sqrt{9}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.9

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$r = \frac{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}{\sqrt{3^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.9.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$r = \frac{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}{3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \frac{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}{3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \frac{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}{3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 4

Заменим $x$ и $y$ фактическими значениями.

$r = \frac{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}{3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{\frac{2 π}{3}}{3})$

Этап 5

Обратная функция тангенса $\frac{2 π}{9}$ равна $θ = 34.92011439 °$ .

$r = \frac{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}{3}$

$θ = 34.92011439 °$

Этап 6

Это результат преобразования в полярные координаты в виде $(r, θ)$ .

$(\frac{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}{3}, 34.92011439 °)$