Основы мат. анализа Примеры

$x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y + 1 = 0$

Этап 1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y = - 1$

Этап 2

Составим полный квадрат для $x^{2} + 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = 2$

$c = 0$

Этап 2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.2.2

Перепишем это выражение.

$d = 1$

Этап 2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Этап 2.4.2.1.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Этап 2.4.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Этап 2.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$e = 0 - 1$

Этап 2.4.2.2

Вычтем $1$ из $0$ .

$e = - 1$

Этап 2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(x + 1)}^{2} - 1$ .

${(x + 1)}^{2} - 1$

Этап 3

Подставим ${(x + 1)}^{2} - 1$ вместо $x^{2} + 2 x$ в уравнение $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y = - 1$ .

${(x + 1)}^{2} - 1 + y^{2} - 4 y = - 1$

Этап 4

Перенесем $- 1$ в правую часть уравнения, прибавив $1$ к обеим частям.

${(x + 1)}^{2} + y^{2} - 4 y = - 1 + 1$

Этап 5

Составим полный квадрат для $y^{2} - 4 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = - 4$

$c = 0$

Этап 5.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 5.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 1}$

Этап 5.3.2

Сократим общий множитель $- 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Этап 5.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Этап 5.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Этап 5.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 2}{1}$

Этап 5.3.2.2.4

Разделим $- 2$ на $1$ .

$d = - 2$

Этап 5.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель ${(- 4)}^{2}$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1.1

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 5.4.2.1.1.2

Применим правило умножения к $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 5.4.2.1.1.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 5.4.2.1.1.4

Умножим $4^{2}$ на $1$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 5.4.2.1.1.5

Вынесем множитель $4$ из $4^{2}$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Этап 5.4.2.1.1.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1.6.1

Вынесем множитель $4$ из $4 \cdot 1$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Этап 5.4.2.1.1.6.2

Сократим общий множитель.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Этап 5.4.2.1.1.6.3

Перепишем это выражение.

$e = 0 - \frac{4}{1}$

Этап 5.4.2.1.1.6.4

Разделим $4$ на $1$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Этап 5.4.2.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$e = 0 - 4$

Этап 5.4.2.2

Вычтем $4$ из $0$ .

$e = - 4$

Этап 5.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(y - 2)}^{2} - 4$ .

${(y - 2)}^{2} - 4$

Этап 6

Подставим ${(y - 2)}^{2} - 4$ вместо $y^{2} - 4 y$ в уравнение $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y = - 1$ .

${(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} - 4 = - 1 + 1$

Этап 7

Перенесем $- 4$ в правую часть уравнения, прибавив $4$ к обеим частям.

${(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = - 1 + 1 + 4$

Этап 8

Упростим $- 1 + 1 + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

${(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 0 + 4$

Этап 8.2

Добавим $0$ и $4$ .

${(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$

Этап 9

Это формула окружности. Используем эту формулу для определения центра и радиуса окружности.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Этап 10

Сопоставим параметры окружности со значениями в стандартной форме. Переменная $r$ представляет радиус окружности, $h$ — сдвиг по оси X от начала координат, а $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат.

$r = 2$

$h = - 1$

$k = 2$

Этап 11

Центр окружности находится в точке $(h, k)$ .

Центр: $(- 1, 2)$

Этап 12

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа окружности.

Центр: $(- 1, 2)$

Радиус: $2$

Этап 13