Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 2 \log_{\frac{1}{3}} (x - 1) + 3$

Этап 1

Найдем асимптоты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем, где выражение $\log_{\frac{1}{3}} ({(x - 1)}^{2}) + 3$ не определено.

$x = 1$

Этап 1.2

Игнорируя логарифм, рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 1.3

Горизонтальные асимптоты отсутствуют, поскольку $Q (x)$ равно $1$ .

Нет горизонтальных асимптот

Этап 1.4

У логарифмических и тригонометрических функций нет наклонных асимптот.

Нет наклонных асимптот

Этап 1.5

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = 1$

Нет горизонтальных асимптот

Вертикальные асимптоты: $x = 1$

Нет горизонтальных асимптот

Этап 2

Найдем точку в $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = 2 \log_{\frac{1}{3}} ((2) - 1) + 3$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вычтем $1$ из $2$ .

$f (2) = 2 \log_{\frac{1}{3}} (1) + 3$

Этап 2.2.1.2

Логарифм $1$ по основанию $\frac{1}{3}$ равен $0$ .

$f (2) = 2 \cdot 0 + 3$

Этап 2.2.1.3

Умножим $2$ на $0$ .

$f (2) = 0 + 3$

Этап 2.2.2

Добавим $0$ и $3$ .

$f (2) = 3$

Этап 2.2.3

Окончательный ответ: $3$ .

$3$

Этап 2.3

Преобразуем $3$ в десятичное представление.

$y = 3$

Этап 3

Найдем точку в $x = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f (4) = 2 \log_{\frac{1}{3}} ((4) - 1) + 3$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Вычтем $1$ из $4$ .

$f (4) = 2 \log_{\frac{1}{3}} (3) + 3$

Этап 3.2.1.2

Логарифм $3$ по основанию $\frac{1}{3}$ равен $- 1$ .

$f (4) = 2 \cdot - 1 + 3$

Этап 3.2.1.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f (4) = - 2 + 3$

Этап 3.2.2

Добавим $- 2$ и $3$ .

$f (4) = 1$

Этап 3.2.3

Окончательный ответ: $1$ .

$1$

Этап 3.3

Преобразуем $1$ в десятичное представление.

$y = 1$

Этап 4

Найдем точку в $x = 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $10$ .

$f (10) = 2 \log_{\frac{1}{3}} ((10) - 1) + 3$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Вычтем $1$ из $10$ .

$f (10) = 2 \log_{\frac{1}{3}} (9) + 3$

Этап 4.2.1.2

Логарифм $9$ по основанию $\frac{1}{3}$ равен $- 2$ .

$f (10) = 2 \cdot - 2 + 3$

Этап 4.2.1.3

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f (10) = - 4 + 3$

Этап 4.2.2

Добавим $- 4$ и $3$ .

$f (10) = - 1$

Этап 4.2.3

Окончательный ответ: $- 1$ .

$- 1$

Этап 4.3

Преобразуем $- 1$ в десятичное представление.

$y = - 1$

Этап 5

График логарифмической функции можно построить с помощью вертикальной асимптоты в точке $x = 1$ и точек $(2, 3), (4, 1), (10, - 1)$ .

Вертикальная асимптота: $x = 1$

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & 3 \\ 4 & 1 \\ 10 & - 1 \end{array}$

Этап 6