Основы мат. анализа Примеры

$\sum_{n = 3}^{8} 15 - 4 n$

Этап 1

Разобьем сумму так, чтобы начальное значение $n$ было равно $1$ .

$\sum_{n = 3}^{8} 15 - 4 n = \sum_{n = 1}^{8} 15 - 4 n - \sum_{n = 1}^{2} 15 - 4 n$

Этап 2

Найдем значение $\sum_{n = 1}^{8} 15 - 4 n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разобьем сумму на меньшие суммы в соответствии с правилами суммирования.

$\sum_{n = 1}^{8} 15 - 4 n = \sum_{n = 1}^{8} 15 - 4 \sum_{n = 1}^{8} n$

Этап 2.2

Найдем значение $\sum_{n = 1}^{8} 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Формула суммирования констант:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Этап 2.2.2

Подставим значения в формулу.

$(15) (8)$

Этап 2.2.3

Умножим $15$ на $8$ .

$120$

Этап 2.3

Найдем значение $4 \sum_{n = 1}^{8} n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Формула суммирования многочлена степени $1$ :

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Этап 2.3.2

Подставим данные значения в формулу и умножим на стоящий первым член.

$(- 4) (\frac{8 (8 + 1)}{2})$

Этап 2.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Добавим $8$ и $1$ .

$- 4 \frac{8 \cdot 9}{2}$

Этап 2.3.3.1.2

Умножим $8$ на $9$ .

$- 4 (\frac{72}{2})$

Этап 2.3.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$2 (- 2) \frac{72}{2}$

Этап 2.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \cdot - 2 \frac{72}{2}$

Этап 2.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$- 2 \cdot 72$

Этап 2.3.3.3

Умножим $- 2$ на $72$ .

$- 144$

Этап 2.4

Сложим результаты суммирования.

$120 - 144$

Этап 2.5

Вычтем $144$ из $120$ .

$- 24$

Этап 3

Найдем значение $\sum_{n = 1}^{2} 15 - 4 n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Развернем ряд для каждого значения $n$ .

$15 - 4 \cdot 1 + 15 - 4 \cdot 2$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$15 - 4 + 15 - 4 \cdot 2$

Этап 3.2.2

Вычтем $4$ из $15$ .

$11 + 15 - 4 \cdot 2$

Этап 3.2.3

Умножим $- 4$ на $2$ .

$11 + 15 - 8$

Этап 3.2.4

Вычтем $8$ из $15$ .

$11 + 7$

Этап 3.2.5

Добавим $11$ и $7$ .

$18$

Этап 4

Подставим найденные значения вместо результатов суммирования.

$- 24 - 18$

Этап 5

Вычтем $18$ из $- 24$ .

$- 42$