Основы мат. анализа Примеры

$| x - 3 | < 7$

Этап 1

Запишем $| x - 3 | < 7$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$x - 3 \geq 0$

Этап 1.2

Добавим $3$ к обеим частям неравенства.

$x \geq 3$

Этап 1.3

В части, где $x - 3$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$x - 3 < 7$

Этап 1.4

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$x - 3 < 0$

Этап 1.5

Добавим $3$ к обеим частям неравенства.

$x < 3$

Этап 1.6

В части, где $x - 3$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- (x - 3) < 7$

Этап 1.7

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} x - 3 < 7 & x \geq 3 \\ - (x - 3) < 7 & x < 3 \end{cases}$

Этап 1.8

Упростим $- (x - 3) < 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

${\begin{cases} x - 3 < 7 & x \geq 3 \\ - x - - 3 < 7 & x < 3 \end{cases}$

Этап 1.8.2

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

${\begin{cases} x - 3 < 7 & x \geq 3 \\ - x + 3 < 7 & x < 3 \end{cases}$

Этап 2

Решим $x - 3 < 7$ , когда $x \geq 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Добавим $3$ к обеим частям неравенства.

$x < 7 + 3$

Этап 2.1.2

Добавим $7$ и $3$ .

$x < 10$

Этап 2.2

Найдем пересечение $x < 10$ и $x \geq 3$ .

$3 \leq x < 10$

Этап 3

Решим $- x + 3 < 7$ , когда $x < 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Решим $- x + 3 < 7$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Вычтем $3$ из обеих частей неравенства.

$- x < 7 - 3$

Этап 3.1.1.2

Вычтем $3$ из $7$ .

$- x < 4$

Этап 3.1.2

Разделим каждый член $- x < 4$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Разделим каждый член $- x < 4$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} > \frac{4}{- 1}$

Этап 3.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} > \frac{4}{- 1}$

Этап 3.1.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x > \frac{4}{- 1}$

Этап 3.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Разделим $4$ на $- 1$ .

$x > - 4$

Этап 3.2

Найдем пересечение $x > - 4$ и $x < 3$ .

$- 4 < x < 3$

Этап 4

Найдем объединение решений.

$- 4 < x < 10$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$- 4 < x < 10$

Интервальное представление:

$(- 4, 10)$

Этап 6