Основы мат. анализа Примеры

$\frac{x + 2}{x - 1} - \frac{2}{x + 6} - \frac{14}{x^{2} + 5 x - 6}$

Этап 1

Разложим $x^{2} + 5 x - 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 6$ , а сумма — $5$ .

$- 1, 6$

Этап 1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{x + 2}{x - 1} - \frac{2}{x + 6} - \frac{14}{(x - 1) (x + 6)}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{x + 2}{x - 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 6}{x + 6}$ .

$\frac{x + 2}{x - 1} \cdot \frac{x + 6}{x + 6} - \frac{2}{x + 6} - \frac{14}{(x - 1) (x + 6)}$

Этап 3

Чтобы записать $- \frac{2}{x + 6}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x + 2}{x - 1} \cdot \frac{x + 6}{x + 6} - \frac{2}{x + 6} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{14}{(x - 1) (x + 6)}$

Этап 4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x - 1) (x + 6)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{x + 2}{x - 1}$ на $\frac{x + 6}{x + 6}$ .

$\frac{(x + 2) (x + 6)}{(x - 1) (x + 6)} - \frac{2}{x + 6} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{14}{(x - 1) (x + 6)}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{2}{x + 6}$ на $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{(x + 2) (x + 6)}{(x - 1) (x + 6)} - \frac{2 (x - 1)}{(x + 6) (x - 1)} - \frac{14}{(x - 1) (x + 6)}$

Этап 4.3

Изменим порядок множителей в $(x - 1) (x + 6)$ .

$\frac{(x + 2) (x + 6)}{(x + 6) (x - 1)} - \frac{2 (x - 1)}{(x + 6) (x - 1)} - \frac{14}{(x - 1) (x + 6)}$

Этап 5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(x + 2) (x + 6) - 2 (x - 1)}{(x + 6) (x - 1)} - \frac{14}{(x - 1) (x + 6)}$

Этап 5.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(x + 2) (x + 6) - 2 (x - 1) - 14}{(x + 6) (x - 1)}$

Этап 6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Развернем $(x + 2) (x + 6)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (x + 6) + 2 (x + 6) - 2 (x - 1) - 14}{(x + 6) (x - 1)}$

Этап 6.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 6 + 2 (x + 6) - 2 (x - 1) - 14}{(x + 6) (x - 1)}$

Этап 6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 6 + 2 x + 2 \cdot 6 - 2 (x - 1) - 14}{(x + 6) (x - 1)}$

Этап 6.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 6 + 2 x + 2 \cdot 6 - 2 (x - 1) - 14}{(x + 6) (x - 1)}$

Этап 6.2.1.2

Перенесем $6$ влево от $x$ .

$\frac{x^{2} + 6 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 6 - 2 (x - 1) - 14}{(x + 6) (x - 1)}$

Этап 6.2.1.3

Умножим $2$ на $6$ .

$\frac{x^{2} + 6 x + 2 x + 12 - 2 (x - 1) - 14}{(x + 6) (x - 1)}$

Этап 6.2.2

Добавим $6 x$ и $2 x$ .

$\frac{x^{2} + 8 x + 12 - 2 (x - 1) - 14}{(x + 6) (x - 1)}$

Этап 6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} + 8 x + 12 - 2 x - 2 \cdot - 1 - 14}{(x + 6) (x - 1)}$

Этап 6.4

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 8 x + 12 - 2 x + 2 - 14}{(x + 6) (x - 1)}$

Этап 7

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вычтем $2 x$ из $8 x$ .

$\frac{x^{2} + 6 x + 12 + 2 - 14}{(x + 6) (x - 1)}$

Этап 7.2

Добавим $12$ и $2$ .

$\frac{x^{2} + 6 x + 14 - 14}{(x + 6) (x - 1)}$

Этап 7.3

Объединим противоположные члены в $x^{2} + 6 x + 14 - 14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Вычтем $14$ из $14$ .

$\frac{x^{2} + 6 x + 0}{(x + 6) (x - 1)}$

Этап 7.3.2

Добавим $x^{2} + 6 x$ и $0$ .

$\frac{x^{2} + 6 x}{(x + 6) (x - 1)}$

Этап 7.4

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} + 6 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x + 6 x}{(x + 6) (x - 1)}$

Этап 7.4.2

Вынесем множитель $x$ из $6 x$ .

$\frac{x \cdot x + x \cdot 6}{(x + 6) (x - 1)}$

Этап 7.4.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot 6$ .

$\frac{x (x + 6)}{(x + 6) (x - 1)}$

Этап 7.5

Сократим общий множитель $x + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x (x + 6)}{(x + 6) (x - 1)}$

Этап 7.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x}{x - 1}$