Основы мат. анализа Примеры

$5^{x - 2} = 3^{3 x + 2}$

Этап 1

Возьмем логарифм обеих частей уравнения.

$\ln (5^{x - 2}) = \ln (3^{3 x + 2})$

Этап 2

Развернем $\ln (5^{x - 2})$ , вынося $x - 2$ из логарифма.

$(x - 2) \ln (5) = \ln (3^{3 x + 2})$

Этап 3

Развернем $\ln (3^{3 x + 2})$ , вынося $3 x + 2$ из логарифма.

$(x - 2) \ln (5) = (3 x + 2) \ln (3)$

Этап 4

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим $(x - 2) \ln (5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Перепишем.

$0 + 0 + (x - 2) \ln (5) = (3 x + 2) \ln (3)$

Этап 4.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$(x - 2) \ln (5) = (3 x + 2) \ln (3)$

Этап 4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x \ln (5) - 2 \ln (5) = (3 x + 2) \ln (3)$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x \ln (5) - 2 \ln (5) = 3 x \ln (3) + 2 \ln (3)$

Этап 4.3

Вычтем $3 x \ln (3)$ из обеих частей уравнения.

$x \ln (5) - 2 \ln (5) - 3 x \ln (3) = 2 \ln (3)$

Этап 4.4

Добавим $2 \ln (5)$ к обеим частям уравнения.

$x \ln (5) - 3 x \ln (3) = 2 \ln (3) + 2 \ln (5)$

Этап 4.5

Вынесем множитель $x$ из $x \ln (5) - 3 x \ln (3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Вынесем множитель $x$ из $x \ln (5)$ .

$x (\ln (5)) - 3 x \ln (3) = 2 \ln (3) + 2 \ln (5)$

Этап 4.5.2

Вынесем множитель $x$ из $- 3 x \ln (3)$ .

$x (\ln (5)) + x (- 3 \ln (3)) = 2 \ln (3) + 2 \ln (5)$

Этап 4.5.3

Вынесем множитель $x$ из $x (\ln (5)) + x (- 3 \ln (3))$ .

$x (\ln (5) - 3 \ln (3)) = 2 \ln (3) + 2 \ln (5)$

Этап 4.6

Разделим каждый член $x (\ln (5) - 3 \ln (3)) = 2 \ln (3) + 2 \ln (5)$ на $\ln (5) - 3 \ln (3)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Разделим каждый член $x (\ln (5) - 3 \ln (3)) = 2 \ln (3) + 2 \ln (5)$ на $\ln (5) - 3 \ln (3)$ .

$\frac{x (\ln (5) - 3 \ln (3))}{\ln (5) - 3 \ln (3)} = \frac{2 \ln (3)}{\ln (5) - 3 \ln (3)} + \frac{2 \ln (5)}{\ln (5) - 3 \ln (3)}$

Этап 4.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1

Сократим общий множитель $\ln (5) - 3 \ln (3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x (\ln (5) - 3 \ln (3))}{\ln (5) - 3 \ln (3)} = \frac{2 \ln (3)}{\ln (5) - 3 \ln (3)} + \frac{2 \ln (5)}{\ln (5) - 3 \ln (3)}$

Этап 4.6.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{2 \ln (3)}{\ln (5) - 3 \ln (3)} + \frac{2 \ln (5)}{\ln (5) - 3 \ln (3)}$

Этап 4.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 \ln (3) + 2 \ln (5)}{\ln (5) - 3 \ln (3)}$

Этап 4.6.3.2

Вынесем множитель $2$ из $2 \ln (3) + 2 \ln (5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \ln (3)$ .

$x = \frac{2 \ln (3) + 2 \ln (5)}{\ln (5) - 3 \ln (3)}$

Этап 4.6.3.2.2

Вынесем множитель $2$ из $2 \ln (5)$ .

$x = \frac{2 \ln (3) + 2 \ln (5)}{\ln (5) - 3 \ln (3)}$

Этап 4.6.3.2.3

Вынесем множитель $2$ из $2 \ln (3) + 2 \ln (5)$ .

$x = \frac{2 (\ln (3) + \ln (5))}{\ln (5) - 3 \ln (3)}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{2 (\ln (3) + \ln (5))}{\ln (5) - 3 \ln (3)}$

Десятичная форма:

$x = - 3.21163648 \dots$