Основы мат. анализа Примеры

$3^{2 x} + 3^{x} - 30 = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $3^{2 x}$ в виде ${(3^{x})}^{2}$ .

${(3^{x})}^{2} + 3^{x} - 30 = 0$

Этап 1.2

Пусть $u = 3^{x}$ . Подставим $u$ вместо $3^{x}$ для всех.

$u^{2} + u - 30 = 0$

Этап 1.3

Разложим $u^{2} + u - 30$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 30$ , а сумма — $1$ .

$- 5, 6$

Этап 1.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 5) (u + 6) = 0$

Этап 1.4

Заменим все вхождения $u$ на $3^{x}$ .

$(3^{x} - 5) (3^{x} + 6) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3^{x} - 5 = 0$

$3^{x} + 6 = 0$

Этап 3

Приравняем $3^{x} - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $3^{x} - 5$ к $0$ .

$3^{x} - 5 = 0$

Этап 3.2

Решим $3^{x} - 5 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$3^{x} = 5$

Этап 3.2.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (3^{x}) = \ln (5)$

Этап 3.2.3

Развернем $\ln (3^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (3) = \ln (5)$

Этап 3.2.4

Разделим каждый член $x \ln (3) = \ln (5)$ на $\ln (3)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Разделим каждый член $x \ln (3) = \ln (5)$ на $\ln (3)$ .

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (5)}{\ln (3)}$

Этап 3.2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.2.1

Сократим общий множитель $\ln (3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (5)}{\ln (3)}$

Этап 3.2.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\ln (5)}{\ln (3)}$

Этап 4

Приравняем $3^{x} + 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $3^{x} + 6$ к $0$ .

$3^{x} + 6 = 0$

Этап 4.2

Решим $3^{x} + 6 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$3^{x} = - 6$

Этап 4.2.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (3^{x}) = \ln (- 6)$

Этап 4.2.3

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (- 6)$ не определено.

Неопределенные

Этап 4.2.4

Нет решения для $3^{x} = - 6$

Нет решения

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(3^{x} - 5) (3^{x} + 6) = 0$ верно.

$x = \frac{\ln (5)}{\ln (3)}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{\ln (5)}{\ln (3)}$

Десятичная форма:

$x = 1.46497352 \dots$