Основы мат. анализа Примеры

$\sqrt{5 x + 4} - 1 = 2 x$

Этап 1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$\sqrt{5 x + 4} = 2 x + 1$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{5 x + 4}}^{2} = {(2 x + 1)}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5 x + 4}$ в виде ${(5 x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(5 x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x + 1)}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${({(5 x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(5 x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(5 x + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x + 1)}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(5 x + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x + 1)}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(5 x + 4)}^{1} = {(2 x + 1)}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Упростим.

$5 x + 4 = {(2 x + 1)}^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим ${(2 x + 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем ${(2 x + 1)}^{2}$ в виде $(2 x + 1) (2 x + 1)$ .

$5 x + 4 = (2 x + 1) (2 x + 1)$

Этап 3.3.1.2

Развернем $(2 x + 1) (2 x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x + 4 = 2 x (2 x + 1) + 1 (2 x + 1)$

Этап 3.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x + 4 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x + 1)$

Этап 3.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x + 4 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1$

Этап 3.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$5 x + 4 = 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1$

Этап 3.3.1.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$5 x + 4 = 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1$

Этап 3.3.1.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$5 x + 4 = 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1$

Этап 3.3.1.3.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$5 x + 4 = 4 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1$

Этап 3.3.1.3.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$5 x + 4 = 4 x^{2} + 2 x + 1 (2 x) + 1 \cdot 1$

Этап 3.3.1.3.1.5

Умножим $2 x$ на $1$ .

$5 x + 4 = 4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1 \cdot 1$

Этап 3.3.1.3.1.6

Умножим $1$ на $1$ .

$5 x + 4 = 4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1$

Этап 3.3.1.3.2

Добавим $2 x$ и $2 x$ .

$5 x + 4 = 4 x^{2} + 4 x + 1$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$4 x^{2} + 4 x + 1 = 5 x + 4$

Этап 4.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $5 x$ из обеих частей уравнения.

$4 x^{2} + 4 x + 1 - 5 x = 4$

Этап 4.2.2

Вычтем $5 x$ из $4 x$ .

$4 x^{2} - x + 1 = 4$

Этап 4.3

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$4 x^{2} - x + 1 - 4 = 0$

Этап 4.4

Вычтем $4$ из $1$ .

$4 x^{2} - x - 3 = 0$

Этап 4.5

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 4 \cdot - 3 = - 12$ , а сумма — $b = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$4 x^{2} - (x) - 3 = 0$

Этап 4.5.1.2

Запишем $- 1$ как $3$ плюс $- 4$

$4 x^{2} + (3 - 4) x - 3 = 0$

Этап 4.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x^{2} + 3 x - 4 x - 3 = 0$

Этап 4.5.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(4 x^{2} + 3 x) - 4 x - 3 = 0$

Этап 4.5.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (4 x + 3) - (4 x + 3) = 0$

Этап 4.5.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $4 x + 3$ .

$(4 x + 3) (x - 1) = 0$

Этап 4.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$4 x + 3 = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 4.7

Приравняем $4 x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Приравняем $4 x + 3$ к $0$ .

$4 x + 3 = 0$

Этап 4.7.2

Решим $4 x + 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$4 x = - 3$

Этап 4.7.2.2

Разделим каждый член $4 x = - 3$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.2.1

Разделим каждый член $4 x = - 3$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 3}{4}$

Этап 4.7.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 3}{4}$

Этап 4.7.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 3}{4}$

Этап 4.7.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{3}{4}$

Этап 4.8

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 4.8.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 4.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(4 x + 3) (x - 1) = 0$ верно.

$x = - \frac{3}{4}, 1$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $\sqrt{5 x + 4} - 1 = 2 x$ истинным.

$x = 1$