Основы мат. анализа Примеры

$\frac{4}{x (x - 1)}$

Этап 1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1}$

Этап 1.2

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $x (x - 1)$ .

$\frac{4 (x (x - 1))}{x (x - 1)} = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 (x (x - 1))}{x (x - 1)} = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

Этап 1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{4 (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

Этап 1.4.2

Разделим $4$ на $1$ .

$4 = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

Этап 1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Сократим общий множитель.

$4 = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

Этап 1.5.1.2

Разделим $A (x - 1)$ на $1$ .

$4 = A (x - 1) + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

Этап 1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 = A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

Этап 1.5.3

Перенесем $- 1$ влево от $A$ .

$4 = A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

Этап 1.5.4

Перепишем $- 1 A$ в виде $- A$ .

$4 = A x - A + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

Этап 1.5.5

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.1

Сократим общий множитель.

$4 = A x - A + \frac{B (x (x - 1))}{x - 1}$

Этап 1.5.5.2

Разделим $(B) (x)$ на $1$ .

$4 = A x - A + (B) (x)$

$4 = A x - A + B x$

Этап 1.6

Перенесем $- A$ .

$4 = A x + B x - A$

Этап 2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = A + B$

Этап 2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$4 = - 1 A$

Этап 2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = A + B$

$4 = - 1 A$

$0 = A + B$

$4 = - 1 A$

Этап 3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Решим относительно $A$ в $4 = - 1 A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем уравнение в виде $- 1 A = 4$ .

$- 1 A = 4$

$0 = A + B$

Этап 3.1.2

Разделим каждый член $- 1 A = 4$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Разделим каждый член $- 1 A = 4$ на $- 1$ .

$\frac{- 1 A}{- 1} = \frac{4}{- 1}$

$0 = A + B$

Этап 3.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{A}{1} = \frac{4}{- 1}$

$0 = A + B$

Этап 3.1.2.2.2

Разделим $A$ на $1$ .

$A = \frac{4}{- 1}$

$0 = A + B$

$A = \frac{4}{- 1}$

$0 = A + B$

Этап 3.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Разделим $4$ на $- 1$ .

$A = - 4$

$0 = A + B$

$A = - 4$

$0 = A + B$

$A = - 4$

$0 = A + B$

$A = - 4$

$0 = A + B$

Этап 3.2

Заменим все вхождения $A$ на $- 4$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $0 = A + B$ на $- 4$ .

$0 = (- 4) + B$

$A = - 4$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Избавимся от скобок.

$0 = - 4 + B$

$A = - 4$

$0 = - 4 + B$

$A = - 4$

$0 = - 4 + B$

$A = - 4$

Этап 3.3

Решим относительно $B$ в $0 = - 4 + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $- 4 + B = 0$ .

$- 4 + B = 0$

$A = - 4$

Этап 3.3.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$B = 4$

$A = - 4$

$B = 4$

$A = - 4$

Этап 3.4

Решим систему уравнений.

$B = 4 A = - 4$

Этап 3.5

Перечислим все решения.

$B = 4, A = - 4$

Этап 4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$- \frac{4}{x} + \frac{4}{x - 1}$