Основы мат. анализа Примеры

$y = \tan (4 x)$

Этап 1

Найдем асимптоты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вертикальные асимптоты функции $y = \tan (x)$ находятся в точках $x = \frac{π}{2} + n π$ , где $n$ — целое число. Используя основной период $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ для $y = \tan (x)$ , найдем вертикальные асимптоты для $y = \tan (4 x)$ . Положив аргумент тангенса, $b x + c$ , равным $- \frac{π}{2}$ в выражении $y = a \tan (b x + c) + d$ , найдем положение вертикальной асимптоты для $y = \tan (4 x)$ .

$4 x = - \frac{π}{2}$

Этап 1.2

Разделим каждый член $4 x = - \frac{π}{2}$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разделим каждый член $4 x = - \frac{π}{2}$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- \frac{π}{2}}{4}$

Этап 1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- \frac{π}{2}}{4}$

Этап 1.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{2}}{4}$

Этап 1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = - \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Этап 1.2.3.2

Умножим $- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{4 \cdot 2}$

Этап 1.2.3.2.2

Умножим $4$ на $2$ .

$x = - \frac{π}{8}$

Этап 1.3

Приравняем аргумент $4 x$ функции тангенса к $\frac{π}{2}$ .

$4 x = \frac{π}{2}$

Этап 1.4

Разделим каждый член $4 x = \frac{π}{2}$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Разделим каждый член $4 x = \frac{π}{2}$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

Этап 1.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

Этап 1.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

Этап 1.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Этап 1.4.3.2

Умножим $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.2.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 4}$

Этап 1.4.3.2.2

Умножим $2$ на $4$ .

$x = \frac{π}{8}$

Этап 1.5

Основной период $y = \tan (4 x)$ находится на промежутке $(- \frac{π}{8}, \frac{π}{8})$ , где $- \frac{π}{8}$ и $\frac{π}{8}$ являются вертикальными асимптотами.

$(- \frac{π}{8}, \frac{π}{8})$

Этап 1.6

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $4$ равно $4$ .

$\frac{π}{4}$

Этап 1.7

Вертикальные асимптоты $y = \tan (4 x)$ находятся в точках $- \frac{π}{8}$ , $\frac{π}{8}$ и в каждой точке $\frac{π n}{4}$ , где $n$ ― целое число.

$x = \frac{π}{8} + \frac{π n}{4}$

Этап 1.8

У тангенса есть только вертикальные асимптоты.

Нет горизонтальных асимптот

Нет наклонных асимптот

Вертикальные асимптоты: $x = \frac{π}{8} + \frac{π n}{4}$ , где $n$ — целое число

Нет горизонтальных асимптот

Нет наклонных асимптот

Вертикальные асимптоты: $x = \frac{π}{8} + \frac{π n}{4}$ , где $n$ — целое число

Этап 2

Применим форму $a \tan (b x - c) + d$ , чтобы найти переменные, используемые для вычисления амплитуды, периода, сдвига фазы и смещения по вертикали.

$a = 1$

$b = 4$

$c = 0$

$d = 0$

Этап 3

Поскольку график функции $t a n$ не имеет максимального или минимального значения, его амплитуда не может быть определена.

Амплитуда: нет

Этап 4

Найдем период $\tan (4 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 4.2

Заменим $b$ на $4$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 4 |}$

Этап 4.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $4$ равно $4$ .

$\frac{π}{4}$

Этап 5

Найдем сдвиг фазы, используя формулу $\frac{c}{b}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сдвиг фазы функции можно вычислить по формуле $\frac{c}{b}$ .

Сдвиг фазы: $\frac{c}{b}$

Этап 5.2

Заменим величины $c$ и $b$ в уравнении на сдвиг фазы.

Сдвиг фазы: $\frac{0}{4}$

Этап 5.3

Разделим $0$ на $4$ .

Сдвиг фазы: $0$

Этап 6

Перечислим свойства тригонометрической функции.

Амплитуда: нет

Период: $\frac{π}{4}$

Сдвиг фазы: нет

Смещение по вертикали: нет

Этап 7

График тригонометрической функции можно построить, используя амплитуду, период, сдвиг фазы, смещение по вертикали и точки.

Вертикальные асимптоты: $x = \frac{π}{8} + \frac{π n}{4}$ , где $n$ — целое число

Амплитуда: нет

Период: $\frac{π}{4}$

Сдвиг фазы: нет

Смещение по вертикали: нет

Этап 8