Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 6 x^{3} - 3$

Этап 1

Запишем $f (x) = 6 x^{3} - 3$ в виде уравнения.

$y = 6 x^{3} - 3$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = 6 y^{3} - 3$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $6 y^{3} - 3 = x$ .

$6 y^{3} - 3 = x$

Этап 3.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$6 y^{3} = x + 3$

Этап 3.3

Разделим каждый член $6 y^{3} = x + 3$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $6 y^{3} = x + 3$ на $6$ .

$\frac{6 y^{3}}{6} = \frac{x}{6} + \frac{3}{6}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 y^{3}}{6} = \frac{x}{6} + \frac{3}{6}$

Этап 3.3.2.1.2

Разделим $y^{3}$ на $1$ .

$y^{3} = \frac{x}{6} + \frac{3}{6}$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Сократим общий множитель $3$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$y^{3} = \frac{x}{6} + \frac{3 (1)}{6}$

Этап 3.3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$y^{3} = \frac{x}{6} + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Этап 3.3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y^{3} = \frac{x}{6} + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Этап 3.3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y^{3} = \frac{x}{6} + \frac{1}{2}$

Этап 3.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}$

Этап 3.5

Упростим $\sqrt[3]{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Чтобы записать $\frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}}$

Этап 3.5.2

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{3}{3}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{6} + \frac{3}{2 \cdot 3}}$

Этап 3.5.2.2

Умножим $2$ на $3$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{6} + \frac{3}{6}}$

Этап 3.5.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \sqrt[3]{\frac{x + 3}{6}}$

Этап 3.5.4

Перепишем $\sqrt[3]{\frac{x + 3}{6}}$ в виде $\frac{\sqrt[3]{x + 3}}{\sqrt[3]{6}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3}}{\sqrt[3]{6}}$

Этап 3.5.5

Умножим $\frac{\sqrt[3]{x + 3}}{\sqrt[3]{6}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3}}{\sqrt[3]{6}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{2}}$

Этап 3.5.6

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.6.1

Умножим $\frac{\sqrt[3]{x + 3}}{\sqrt[3]{6}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{\sqrt[3]{6} {\sqrt[3]{6}}^{2}}$

Этап 3.5.6.2

Возведем $\sqrt[3]{6}$ в степень $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{1} {\sqrt[3]{6}}^{2}}$

Этап 3.5.6.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{1 + 2}}$

Этап 3.5.6.4

Добавим $1$ и $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{3}}$

Этап 3.5.6.5

Перепишем ${\sqrt[3]{6}}^{3}$ в виде $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.6.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{6}$ в виде $6^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{{(6^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Этап 3.5.6.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Этап 3.5.6.5.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6^{\frac{3}{3}}}$

Этап 3.5.6.5.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.6.5.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6^{\frac{3}{3}}}$

Этап 3.5.6.5.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6^{1}}$

Этап 3.5.6.5.5

Найдем экспоненту.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6}$

Этап 3.5.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.7.1

Перепишем ${\sqrt[3]{6}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{6^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} \sqrt[3]{6^{2}}}{6}$

Этап 3.5.7.2

Возведем $6$ в степень $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} \sqrt[3]{36}}{6}$

Этап 3.5.8

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.8.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$y = \frac{\sqrt[3]{(x + 3) \cdot 36}}{6}$

Этап 3.5.8.2

Изменим порядок множителей в $\frac{\sqrt[3]{(x + 3) \cdot 36}}{6}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}$ обратной к $f (x) = 6 x^{3} - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (6 x^{3} - 3)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (6 x^{3} - 3) = \frac{\sqrt[3]{36 ((6 x^{3} - 3) + 3)}}{6}$

Этап 5.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Добавим $- 3$ и $3$ .

$f^{- 1} (6 x^{3} - 3) = \frac{\sqrt[3]{36 (6 x^{3} + 0)}}{6}$

Этап 5.2.3.2

Добавим $6 x^{3}$ и $0$ .

$f^{- 1} (6 x^{3} - 3) = \frac{\sqrt[3]{36 \cdot (6 x^{3})}}{6}$

Этап 5.2.3.3

Умножим $36$ на $6$ .

$f^{- 1} (6 x^{3} - 3) = \frac{\sqrt[3]{216 x^{3}}}{6}$

Этап 5.2.3.4

Перепишем $216 x^{3}$ в виде ${(6 x)}^{3}$ .

$f^{- 1} (6 x^{3} - 3) = \frac{\sqrt[3]{{(6 x)}^{3}}}{6}$

Этап 5.2.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$f^{- 1} (6 x^{3} - 3) = \frac{6 x}{6}$

Этап 5.2.4

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (6 x^{3} - 3) = \frac{6 x}{6}$

Этап 5.2.4.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (6 x^{3} - 3) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}) = 6 {(\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6})}^{3} - 3$

Этап 5.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}) = 6 (\frac{{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}^{3}}{6^{3}}) - 3$

Этап 5.3.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Перепишем ${\sqrt[3]{36 (x + 3)}}^{3}$ в виде $36 (x + 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{36 (x + 3)}$ в виде ${(36 (x + 3))}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}) = 6 (\frac{{({(36 (x + 3))}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{6^{3}}) - 3$

Этап 5.3.3.2.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}) = 6 (\frac{{(36 (x + 3))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{6^{3}}) - 3$

Этап 5.3.3.2.1.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}) = 6 (\frac{{(36 (x + 3))}^{\frac{3}{3}}}{6^{3}}) - 3$

Этап 5.3.3.2.1.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}) = 6 (\frac{{(36 (x + 3))}^{\frac{3}{3}}}{6^{3}}) - 3$

Этап 5.3.3.2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}) = 6 (\frac{36 (x + 3)}{6^{3}}) - 3$

Этап 5.3.3.2.1.5

Упростим.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}) = 6 (\frac{36 (x + 3)}{6^{3}}) - 3$

Этап 5.3.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}) = 6 (\frac{36 x + 36 \cdot 3}{6^{3}}) - 3$

Этап 5.3.3.2.3

Умножим $36$ на $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}) = 6 (\frac{36 x + 108}{6^{3}}) - 3$

Этап 5.3.3.2.4

Вынесем множитель $36$ из $36 x + 108$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.4.1

Вынесем множитель $36$ из $36 x$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}) = 6 (\frac{36 (x) + 108}{6^{3}}) - 3$

Этап 5.3.3.2.4.2

Вынесем множитель $36$ из $108$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}) = 6 (\frac{36 x + 36 \cdot 3}{6^{3}}) - 3$

Этап 5.3.3.2.4.3

Вынесем множитель $36$ из $36 x + 36 \cdot 3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}) = 6 (\frac{36 (x + 3)}{6^{3}}) - 3$

Этап 5.3.3.3

Возведем $6$ в степень $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}) = 6 (\frac{36 (x + 3)}{216}) - 3$

Этап 5.3.3.4

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.4.1

Вынесем множитель $6$ из $216$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}) = 6 (\frac{36 (x + 3)}{6 (36)}) - 3$

Этап 5.3.3.4.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}) = 6 (\frac{36 (x + 3)}{6 \cdot 36}) - 3$

Этап 5.3.3.4.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}) = \frac{36 (x + 3)}{36} - 3$

Этап 5.3.3.5

Сократим общий множитель $36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.5.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}) = \frac{36 (x + 3)}{36} - 3$

Этап 5.3.3.5.2

Разделим $x + 3$ на $1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}) = x + 3 - 3$

Этап 5.3.4

Объединим противоположные члены в $x + 3 - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Вычтем $3$ из $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}) = x + 0$

Этап 5.3.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}$ — обратная к $f (x) = 6 x^{3} - 3$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}$