Основы мат. анализа Примеры

$\log (8 x) - \log (1 + \sqrt{x}) = 2$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{8 x}{1 + \sqrt{x}}) = 2$

Этап 1.2

Умножим $\frac{8 x}{1 + \sqrt{x}}$ на $\frac{1 - \sqrt{x}}{1 - \sqrt{x}}$ .

$\log (\frac{8 x}{1 + \sqrt{x}} \cdot \frac{1 - \sqrt{x}}{1 - \sqrt{x}}) = 2$

Этап 1.3

Умножим $\frac{8 x}{1 + \sqrt{x}}$ на $\frac{1 - \sqrt{x}}{1 - \sqrt{x}}$ .

$\log (\frac{8 x (1 - \sqrt{x})}{(1 + \sqrt{x}) (1 - \sqrt{x})}) = 2$

Этап 1.4

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\log (\frac{8 x (1 - \sqrt{x})}{1 - \sqrt{x} + \sqrt{x} - {\sqrt{x}}^{2}}) = 2$

Этап 1.5

Упростим.

$\log (\frac{8 x (1 - \sqrt{x})}{- x + 1}) = 2$

Этап 2

Перепишем $\log (\frac{8 x (1 - \sqrt{x})}{- x + 1}) = 2$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ являются положительными вещественными числами и $b$ $\neq$ $1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$10^{2} = \frac{8 x (1 - \sqrt{x})}{- x + 1}$

Этап 3

С помощью перекрестного умножения избавимся от дроби.

$8 x (1 - \sqrt{x}) = 10^{2} (- x + 1)$

Этап 4

Упростим $10^{2} (- x + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возведем $10$ в степень $2$ .

$8 x (1 - \sqrt{x}) = 100 (- x + 1)$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$8 x (1 - \sqrt{x}) = 100 (- x) + 100 \cdot 1$

Этап 4.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $- 1$ на $100$ .

$8 x (1 - \sqrt{x}) = - 100 x + 100 \cdot 1$

Этап 4.3.2

Умножим $100$ на $1$ .

$8 x (1 - \sqrt{x}) = - 100 x + 100$

Этап 5

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $100 x$ к обеим частям уравнения.

$8 x (1 - \sqrt{x}) + 100 x = 100$

Этап 5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$8 x \cdot 1 + 8 x (- \sqrt{x}) + 100 x = 100$

Этап 5.2.2

Умножим $8$ на $1$ .

$8 x + 8 x (- \sqrt{x}) + 100 x = 100$

Этап 5.2.3

Умножим $- 1$ на $8$ .

$8 x - 8 x \sqrt{x} + 100 x = 100$

Этап 5.3

Добавим $8 x$ и $100 x$ .

$- 8 x \sqrt{x} + 108 x = 100$

Этап 6

Вынесем множитель $4 x$ из $- 8 x \sqrt{x} + 108 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $4 x$ из $- 8 x \sqrt{x}$ .

$4 x (- 2 \sqrt{x}) + 108 x = 100$

Этап 6.2

Вынесем множитель $4 x$ из $108 x$ .

$4 x (- 2 \sqrt{x}) + 4 x (27) = 100$

Этап 6.3

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x (- 2 \sqrt{x}) + 4 x (27)$ .

$4 x (- 2 \sqrt{x} + 27) = 100$

Этап 7

Разделим каждый член $4 x (- 2 \sqrt{x} + 27) = 100$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $4 x (- 2 \sqrt{x} + 27) = 100$ на $4$ .

$\frac{4 x (- 2 \sqrt{x} + 27)}{4} = \frac{100}{4}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x (- 2 \sqrt{x} + 27)}{4} = \frac{100}{4}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $x (- 2 \sqrt{x} + 27)$ на $1$ .

$x (- 2 \sqrt{x} + 27) = \frac{100}{4}$

Этап 7.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x (- 2 \sqrt{x}) + x \cdot 27 = \frac{100}{4}$

Этап 7.2.3

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 2 x \sqrt{x} + x \cdot 27 = \frac{100}{4}$

Этап 7.2.3.2

Перенесем $27$ влево от $x$ .

$- 2 x \sqrt{x} + 27 x = \frac{100}{4}$

Этап 7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Разделим $100$ на $4$ .

$- 2 x \sqrt{x} + 27 x = 25$

Этап 8

Вычтем $27 x$ из обеих частей уравнения.

$- 2 x \sqrt{x} = 25 - 27 x$

Этап 9

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(- 2 x \sqrt{x})}^{2} = {(25 - 27 x)}^{2}$

Этап 10

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 2 x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(25 - 27 x)}^{2}$

Этап 10.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Упростим ${(- 2 x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1

Умножим $x$ на $x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1.1

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 2 (x^{\frac{1}{2}} x))}^{2} = {(25 - 27 x)}^{2}$

Этап 10.2.1.1.2

Умножим $x^{\frac{1}{2}}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

${(- 2 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}))}^{2} = {(25 - 27 x)}^{2}$

Этап 10.2.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${(- 2 x^{\frac{1}{2} + 1})}^{2} = {(25 - 27 x)}^{2}$

Этап 10.2.1.1.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

${(- 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}})}^{2} = {(25 - 27 x)}^{2}$

Этап 10.2.1.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

${(- 2 x^{\frac{1 + 2}{2}})}^{2} = {(25 - 27 x)}^{2}$

Этап 10.2.1.1.5

Добавим $1$ и $2$ .

${(- 2 x^{\frac{3}{2}})}^{2} = {(25 - 27 x)}^{2}$

Этап 10.2.1.2

Применим правило умножения к $- 2 x^{\frac{3}{2}}$ .

${(- 2)}^{2} {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = {(25 - 27 x)}^{2}$

Этап 10.2.1.3

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$4 {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = {(25 - 27 x)}^{2}$

Этап 10.2.1.4

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = {(25 - 27 x)}^{2}$

Этап 10.2.1.4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.4.2.1

Сократим общий множитель.

$4 x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = {(25 - 27 x)}^{2}$

Этап 10.2.1.4.2.2

Перепишем это выражение.

$4 x^{3} = {(25 - 27 x)}^{2}$

Этап 10.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Упростим ${(25 - 27 x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1.1

Перепишем ${(25 - 27 x)}^{2}$ в виде $(25 - 27 x) (25 - 27 x)$ .

$4 x^{3} = (25 - 27 x) (25 - 27 x)$

Этап 10.3.1.2

Развернем $(25 - 27 x) (25 - 27 x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x^{3} = 25 (25 - 27 x) - 27 x (25 - 27 x)$

Этап 10.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x^{3} = 25 \cdot 25 + 25 (- 27 x) - 27 x (25 - 27 x)$

Этап 10.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x^{3} = 25 \cdot 25 + 25 (- 27 x) - 27 x \cdot 25 - 27 x (- 27 x)$

Этап 10.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1.3.1.1

Умножим $25$ на $25$ .

$4 x^{3} = 625 + 25 (- 27 x) - 27 x \cdot 25 - 27 x (- 27 x)$

Этап 10.3.1.3.1.2

Умножим $- 27$ на $25$ .

$4 x^{3} = 625 - 675 x - 27 x \cdot 25 - 27 x (- 27 x)$

Этап 10.3.1.3.1.3

Умножим $25$ на $- 27$ .

$4 x^{3} = 625 - 675 x - 675 x - 27 x (- 27 x)$

Этап 10.3.1.3.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 x^{3} = 625 - 675 x - 675 x - 27 \cdot - 27 x \cdot x$

Этап 10.3.1.3.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1.3.1.5.1

Перенесем $x$ .

$4 x^{3} = 625 - 675 x - 675 x - 27 \cdot - 27 (x \cdot x)$

Этап 10.3.1.3.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$4 x^{3} = 625 - 675 x - 675 x - 27 \cdot - 27 x^{2}$

Этап 10.3.1.3.1.6

Умножим $- 27$ на $- 27$ .

$4 x^{3} = 625 - 675 x - 675 x + 729 x^{2}$

Этап 10.3.1.3.2

Вычтем $675 x$ из $- 675 x$ .

$4 x^{3} = 625 - 1350 x + 729 x^{2}$

Этап 11

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Вычтем $625$ из обеих частей уравнения.

$4 x^{3} - 625 = - 1350 x + 729 x^{2}$

Этап 11.1.2

Добавим $1350 x$ к обеим частям уравнения.

$4 x^{3} - 625 + 1350 x = 729 x^{2}$

Этап 11.1.3

Вычтем $729 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$4 x^{3} - 625 + 1350 x - 729 x^{2} = 0$

Этап 11.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Изменим порядок членов.

$4 x^{3} - 729 x^{2} + 1350 x - 625 = 0$

Этап 11.2.2

Разложим $4 x^{3} - 729 x^{2} + 1350 x - 625$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 625, \pm 5, \pm 125, \pm 25$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Этап 11.2.2.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 625, \pm 156.25, \pm 312.5, \pm 5, \pm 1.25, \pm 2.5, \pm 125, \pm 31.25, \pm 62.5, \pm 25, \pm 6.25, \pm 12.5$

Этап 11.2.2.3

Подставим $1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.3.1

Подставим $1$ в многочлен.

$4 \cdot 1^{3} - 729 \cdot 1^{2} + 1350 \cdot 1 - 625$

Этап 11.2.2.3.2

Возведем $1$ в степень $3$ .

$4 \cdot 1 - 729 \cdot 1^{2} + 1350 \cdot 1 - 625$

Этап 11.2.2.3.3

Умножим $4$ на $1$ .

$4 - 729 \cdot 1^{2} + 1350 \cdot 1 - 625$

Этап 11.2.2.3.4

Возведем $1$ в степень $2$ .

$4 - 729 \cdot 1 + 1350 \cdot 1 - 625$

Этап 11.2.2.3.5

Умножим $- 729$ на $1$ .

$4 - 729 + 1350 \cdot 1 - 625$

Этап 11.2.2.3.6

Вычтем $729$ из $4$ .

$- 725 + 1350 \cdot 1 - 625$

Этап 11.2.2.3.7

Умножим $1350$ на $1$ .

$- 725 + 1350 - 625$

Этап 11.2.2.3.8

Добавим $- 725$ и $1350$ .

$625 - 625$

Этап 11.2.2.3.9

Вычтем $625$ из $625$ .

$0$

Этап 11.2.2.4

Поскольку $1$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{4 x^{3} - 729 x^{2} + 1350 x - 625}{x - 1}$

Этап 11.2.2.5

Разделим $4 x^{3} - 729 x^{2} + 1350 x - 625$ на $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$4 x^{3}$

$729 x^{2}$

$1350 x$

$625$

Этап 11.2.2.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $4 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$4 x^{2}$
	$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$729 x^{2}$	+	$1350 x$	-	$625$

Этап 11.2.2.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$4 x^{2}$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$729 x^{2}$	+	$1350 x$	-	$625$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Этап 11.2.2.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $4 x^{3} - 4 x^{2}$ .

				$4 x^{2}$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$729 x^{2}$	+	$1350 x$	-	$625$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Этап 11.2.2.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$4 x^{2}$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$729 x^{2}$	+	$1350 x$	-	$625$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$725 x^{2}$

Этап 11.2.2.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$4 x^{2}$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$729 x^{2}$	+	$1350 x$	-	$625$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$725 x^{2}$	+	$1350 x$

Этап 11.2.2.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 725 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$4 x^{2}$	-	$725 x$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$729 x^{2}$	+	$1350 x$	-	$625$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$725 x^{2}$	+	$1350 x$

Этап 11.2.2.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$4 x^{2}$	-	$725 x$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$729 x^{2}$	+	$1350 x$	-	$625$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$725 x^{2}$	+	$1350 x$
					-	$725 x^{2}$	+	$725 x$

Этап 11.2.2.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 725 x^{2} + 725 x$ .

				$4 x^{2}$	-	$725 x$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$729 x^{2}$	+	$1350 x$	-	$625$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$725 x^{2}$	+	$1350 x$
					+	$725 x^{2}$	-	$725 x$

Этап 11.2.2.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$4 x^{2}$	-	$725 x$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$729 x^{2}$	+	$1350 x$	-	$625$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$725 x^{2}$	+	$1350 x$
					+	$725 x^{2}$	-	$725 x$
							+	$625 x$

Этап 11.2.2.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$4 x^{2}$	-	$725 x$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$729 x^{2}$	+	$1350 x$	-	$625$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$725 x^{2}$	+	$1350 x$
					+	$725 x^{2}$	-	$725 x$
							+	$625 x$	-	$625$

Этап 11.2.2.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $625 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$4 x^{2}$	-	$725 x$	+	$625$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$729 x^{2}$	+	$1350 x$	-	$625$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$725 x^{2}$	+	$1350 x$
					+	$725 x^{2}$	-	$725 x$
							+	$625 x$	-	$625$

Этап 11.2.2.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$4 x^{2}$	-	$725 x$	+	$625$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$729 x^{2}$	+	$1350 x$	-	$625$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$725 x^{2}$	+	$1350 x$
					+	$725 x^{2}$	-	$725 x$
							+	$625 x$	-	$625$
							+	$625 x$	-	$625$

Этап 11.2.2.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $625 x - 625$ .

				$4 x^{2}$	-	$725 x$	+	$625$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$729 x^{2}$	+	$1350 x$	-	$625$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$725 x^{2}$	+	$1350 x$
					+	$725 x^{2}$	-	$725 x$
							+	$625 x$	-	$625$
							-	$625 x$	+	$625$

Этап 11.2.2.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$4 x^{2}$	-	$725 x$	+	$625$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$729 x^{2}$	+	$1350 x$	-	$625$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$725 x^{2}$	+	$1350 x$
					+	$725 x^{2}$	-	$725 x$
							+	$625 x$	-	$625$
							-	$625 x$	+	$625$
										$0$

Этап 11.2.2.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$4 x^{2} - 725 x + 625$

Этап 11.2.2.6

Запишем $4 x^{3} - 729 x^{2} + 1350 x - 625$ в виде набора множителей.

$(x - 1) (4 x^{2} - 725 x + 625) = 0$

Этап 11.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 1 = 0$

$4 x^{2} - 725 x + 625 = 0$

Этап 11.4

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 11.4.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 11.5

Приравняем $4 x^{2} - 725 x + 625$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.1

Приравняем $4 x^{2} - 725 x + 625$ к $0$ .

$4 x^{2} - 725 x + 625 = 0$

Этап 11.5.2

Решим $4 x^{2} - 725 x + 625 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 11.5.2.2

Подставим значения $a = 4$ , $b = - 725$ и $c = 625$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{725 \pm \sqrt{{(- 725)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 625)}}{2 \cdot 4}$

Этап 11.5.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.2.3.1.1

Возведем $- 725$ в степень $2$ .

$x = \frac{725 \pm \sqrt{525625 - 4 \cdot 4 \cdot 625}}{2 \cdot 4}$

Этап 11.5.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 4 \cdot 625$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $4$ .

$x = \frac{725 \pm \sqrt{525625 - 16 \cdot 625}}{2 \cdot 4}$

Этап 11.5.2.3.1.2.2

Умножим $- 16$ на $625$ .

$x = \frac{725 \pm \sqrt{525625 - 10000}}{2 \cdot 4}$

Этап 11.5.2.3.1.3

Вычтем $10000$ из $525625$ .

$x = \frac{725 \pm \sqrt{515625}}{2 \cdot 4}$

Этап 11.5.2.3.1.4

Перепишем $515625$ в виде $125^{2} \cdot 33$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.2.3.1.4.1

Вынесем множитель $15625$ из $515625$ .

$x = \frac{725 \pm \sqrt{15625 (33)}}{2 \cdot 4}$

Этап 11.5.2.3.1.4.2

Перепишем $15625$ в виде $125^{2}$ .

$x = \frac{725 \pm \sqrt{125^{2} \cdot 33}}{2 \cdot 4}$

Этап 11.5.2.3.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{725 \pm 125 \sqrt{33}}{2 \cdot 4}$

Этап 11.5.2.3.2

Умножим $2$ на $4$ .

$x = \frac{725 \pm 125 \sqrt{33}}{8}$

Этап 11.5.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{725 + 125 \sqrt{33}}{8}, \frac{725 - 125 \sqrt{33}}{8}$

Этап 11.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 1) (4 x^{2} - 725 x + 625) = 0$ верно.

$x = 1, \frac{725 + 125 \sqrt{33}}{8}, \frac{725 - 125 \sqrt{33}}{8}$

Этап 12

Исключим решения, которые не делают $\log (8 x) - \log (1 + \sqrt{x}) = 2$ истинным.

$x = \frac{725 + 125 \sqrt{33}}{8}$

Этап 13

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{725 + 125 \sqrt{33}}{8}$

Десятичная форма:

$x = 180.38379135 \dots$