Основы мат. анализа Примеры

$2 \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x) - 3 = 0$

Этап 1

Заменим $2 \sec^{2} (x)$ на $2 (1 + \tan^{2} (x))$ на основе тождества $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$2 (1 + \tan^{2} (x)) + \tan^{2} (x) - 3 = 0$

Этап 2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \cdot 1 + 2 \tan^{2} (x) + \tan^{2} (x) - 3 = 0$

Этап 2.2

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + 2 \tan^{2} (x) + \tan^{2} (x) - 3 = 0$

Этап 3

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $3$ из $2$ .

$2 \tan^{2} (x) + \tan^{2} (x) - 1 = 0$

Этап 3.2

Добавим $2 \tan^{2} (x)$ и $\tan^{2} (x)$ .

$3 \tan^{2} (x) - 1 = 0$

Этап 4

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$3 \tan^{2} (x) = 1$

Этап 5

Разделим каждый член $3 \tan^{2} (x) = 1$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $3 \tan^{2} (x) = 1$ на $3$ .

$\frac{3 \tan^{2} (x)}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \tan^{2} (x)}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 5.2.1.2

Разделим $\tan^{2} (x)$ на $1$ .

$\tan^{2} (x) = \frac{1}{3}$

Этап 6

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\tan (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Этап 7

Упростим $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{3}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Этап 7.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\tan (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Этап 7.3

Умножим $\frac{1}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 7.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 7.4.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 7.4.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 7.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 7.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 7.4.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 7.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 7.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 7.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 7.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 7.4.6.5

Найдем экспоненту.

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 8

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 8.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 8.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 9

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 10

Решим относительно $x$ в $\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$

Этап 10.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Точное значение $\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$ : $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Этап 10.3

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = π + \frac{π}{6}$

Этап 10.4

Упростим $π + \frac{π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} + \frac{π}{6}$

Этап 10.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.1

Объединим $π$ и $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} + \frac{π}{6}$

Этап 10.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 6 + π}{6}$

Этап 10.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.3.1

Перенесем $6$ влево от $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π + π}{6}$

Этап 10.4.3.2

Добавим $6 π$ и $π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Этап 10.5

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 10.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 10.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 10.5.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 10.6

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 11

Решим относительно $x$ в $\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Этап 11.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Точное значение $\arctan (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ : $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Этап 11.3

Функция тангенса отрицательна во втором и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = - \frac{π}{6} - π$

Этап 11.4

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{6} - π$ .

$x = - \frac{π}{6} - π + 2 π$

Этап 11.4.2

Результирующий угол $\frac{5 π}{6}$ является положительным и отличается от $- \frac{π}{6} - π$ на полный оборот.

$x = \frac{5 π}{6}$

Этап 11.5

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 11.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 11.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 11.5.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 11.6

Добавим $π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.6.1

Добавим $π$ к $- \frac{π}{6}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{6} + π$

Этап 11.6.2

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 11.6.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.6.3.1

Объединим $π$ и $\frac{6}{6}$ .

$\frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 11.6.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Этап 11.6.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.6.4.1

Перенесем $6$ влево от $π$ .

$\frac{6 \cdot π - π}{6}$

Этап 11.6.4.2

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$\frac{5 π}{6}$

Этап 11.6.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{5 π}{6}$

Этап 11.7

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{5 π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 12

Перечислим все решения.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 13

Объединим решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Объединим $\frac{π}{6} + π n$ и $\frac{7 π}{6} + π n$ в $\frac{π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 13.2

Объединим $\frac{5 π}{6} + π n$ и $\frac{5 π}{6} + π n$ в $\frac{5 π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , для любого целого $n$