Основы мат. анализа Примеры

$\log_{2} (x) + \log_{2} (x + 2) = \log_{2} (x + 6)$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{2} (x (x + 2)) = \log_{2} (x + 6)$

Этап 1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{2} (x \cdot x + x \cdot 2) = \log_{2} (x + 6)$

Этап 1.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\log_{2} (x^{2} + x \cdot 2) = \log_{2} (x + 6)$

Этап 1.3.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\log_{2} (x^{2} + 2 x) = \log_{2} (x + 6)$

Этап 2

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

$x^{2} + 2 x = x + 6$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + 2 x - x = 6$

Этап 3.1.2

Вычтем $x$ из $2 x$ .

$x^{2} + x = 6$

Этап 3.2

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + x - 6 = 0$

Этап 3.3

Разложим $x^{2} + x - 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 6$ , а сумма — $1$ .

$- 2, 3$

Этап 3.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 2) (x + 3) = 0$

Этап 3.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 3 = 0$

Этап 3.5

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 3.5.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 3.6

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 3.6.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 3.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 2) (x + 3) = 0$ верно.

$x = 2, - 3$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\log_{2} (x) + \log_{2} (x + 2) = \log_{2} (x + 6)$ истинным.

$x = 2$