Основы мат. анализа Примеры

$\log_{5} (x) + \log_{5} (x + 1) = \log_{5} (20)$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{5} (x (x + 1)) = \log_{5} (20)$

Этап 1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{5} (x \cdot x + x \cdot 1) = \log_{5} (20)$

Этап 1.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\log_{5} (x^{2} + x \cdot 1) = \log_{5} (20)$

Этап 1.3.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\log_{5} (x^{2} + x) = \log_{5} (20)$

Этап 2

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

$x^{2} + x = 20$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $20$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + x - 20 = 0$

Этап 3.2

Разложим $x^{2} + x - 20$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 20$ , а сумма — $1$ .

$- 4, 5$

Этап 3.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 4) (x + 5) = 0$

Этап 3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 5 = 0$

Этап 3.4

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 3.4.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 3.5

Приравняем $x + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $x + 5$ к $0$ .

$x + 5 = 0$

Этап 3.5.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x = - 5$

Этап 3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 4) (x + 5) = 0$ верно.

$x = 4, - 5$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\log_{5} (x) + \log_{5} (x + 1) = \log_{5} (20)$ истинным.

$x = 4$