Основы мат. анализа Примеры

$\log_{x} (125) = 3$

Этап 1

Перепишем $\log_{x} (125) = 3$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$x^{3} = 125$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $125$ из обеих частей уравнения.

$x^{3} - 125 = 0$

Этап 2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем $125$ в виде $5^{3}$ .

$x^{3} - 5^{3} = 0$

Этап 2.2.2

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = x$ и $b = 5$ .

$(x - 5) (x^{2} + x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Этап 2.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Перенесем $5$ влево от $x$ .

$(x - 5) (x^{2} + 5 x + 5^{2}) = 0$

Этап 2.2.3.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 5 = 0$

$x^{2} + 5 x + 25 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 2.4.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 2.5

Приравняем $x^{2} + 5 x + 25$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x^{2} + 5 x + 25$ к $0$ .

$x^{2} + 5 x + 25 = 0$

Этап 2.5.2

Решим $x^{2} + 5 x + 25 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.5.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = 5$ и $c = 25$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 25)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.3

Вычтем $100$ из $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.4

Перепишем $- 75$ в виде $- 1 (75)$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (75)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.7

Перепишем $75$ в виде $5^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1.7.1

Вынесем множитель $25$ из $75$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.7.2

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.9

Перенесем $5$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.5.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) = 0$ верно.

$x = 5, - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$