Основы мат. анализа Примеры

$\frac{1}{x^{2} + 3 x + 2} - \frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим $x^{2} + 3 x + 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $2$ , а сумма — $3$ .

$1, 2$

Этап 1.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{1}{(x + 1) (x + 2)} - \frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}$

Этап 1.2

Разложим $x^{2} - 2 x - 3$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 3$ , а сумма — $- 2$ .

$- 3, 1$

Этап 1.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{1}{(x + 1) (x + 2)} - \frac{1}{(x - 3) (x + 1)}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{1}{(x + 1) (x + 2)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{1}{(x + 1) (x + 2)} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{1}{(x - 3) (x + 1)}$

Этап 3

Чтобы записать $- \frac{1}{(x - 3) (x + 1)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{1}{(x + 1) (x + 2)} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{1}{(x - 3) (x + 1)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}$

Этап 4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x + 1) (x + 2) (x - 3)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{1}{(x + 1) (x + 2)}$ на $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{x - 3}{(x + 1) (x + 2) (x - 3)} - \frac{1}{(x - 3) (x + 1)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{1}{(x - 3) (x + 1)}$ на $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{x - 3}{(x + 1) (x + 2) (x - 3)} - \frac{x + 2}{(x - 3) (x + 1) (x + 2)}$

Этап 4.3

Изменим порядок множителей в $(x - 3) (x + 1) (x + 2)$ .

$\frac{x - 3}{(x + 1) (x + 2) (x - 3)} - \frac{x + 2}{(x + 1) (x + 2) (x - 3)}$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x - 3 - (x + 2)}{(x + 1) (x + 2) (x - 3)}$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x - 3 - x - 1 \cdot 2}{(x + 1) (x + 2) (x - 3)}$

Этап 6.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{x - 3 - x - 2}{(x + 1) (x + 2) (x - 3)}$

Этап 6.3

Вычтем $x$ из $x$ .

$\frac{0 - 3 - 2}{(x + 1) (x + 2) (x - 3)}$

Этап 6.4

Вычтем $3$ из $0$ .

$\frac{- 3 - 2}{(x + 1) (x + 2) (x - 3)}$

Этап 6.5

Вычтем $2$ из $- 3$ .

$\frac{- 5}{(x + 1) (x + 2) (x - 3)}$

Этап 7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{5}{(x + 1) (x + 2) (x - 3)}$