Основы мат. анализа Примеры

$\log_{5} (x - 5) + \log_{5} (x + 15) = 3$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{5} ((x - 5) (x + 15)) = 3$

Этап 1.2

Развернем $(x - 5) (x + 15)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{5} (x (x + 15) - 5 (x + 15)) = 3$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{5} (x \cdot x + x \cdot 15 - 5 (x + 15)) = 3$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{5} (x \cdot x + x \cdot 15 - 5 x - 5 \cdot 15) = 3$

Этап 1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\log_{5} (x^{2} + x \cdot 15 - 5 x - 5 \cdot 15) = 3$

Этап 1.3.1.2

Перенесем $15$ влево от $x$ .

$\log_{5} (x^{2} + 15 \cdot x - 5 x - 5 \cdot 15) = 3$

Этап 1.3.1.3

Умножим $- 5$ на $15$ .

$\log_{5} (x^{2} + 15 x - 5 x - 75) = 3$

Этап 1.3.2

Вычтем $5 x$ из $15 x$ .

$\log_{5} (x^{2} + 10 x - 75) = 3$

Этап 2

Перепишем $\log_{5} (x^{2} + 10 x - 75) = 3$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$5^{3} = x^{2} + 10 x - 75$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $x^{2} + 10 x - 75 = 5^{3}$ .

$x^{2} + 10 x - 75 = 5^{3}$

Этап 3.2

Возведем $5$ в степень $3$ .

$x^{2} + 10 x - 75 = 125$

Этап 3.3

Вычтем $125$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + 10 x - 75 - 125 = 0$

Этап 3.4

Вычтем $125$ из $- 75$ .

$x^{2} + 10 x - 200 = 0$

Этап 3.5

Разложим $x^{2} + 10 x - 200$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 200$ , а сумма — $10$ .

$- 10, 20$

Этап 3.5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 10) (x + 20) = 0$

Этап 3.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 10 = 0$

$x + 20 = 0$

Этап 3.7

Приравняем $x - 10$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Приравняем $x - 10$ к $0$ .

$x - 10 = 0$

Этап 3.7.2

Добавим $10$ к обеим частям уравнения.

$x = 10$

Этап 3.8

Приравняем $x + 20$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Приравняем $x + 20$ к $0$ .

$x + 20 = 0$

Этап 3.8.2

Вычтем $20$ из обеих частей уравнения.

$x = - 20$

Этап 3.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 10) (x + 20) = 0$ верно.

$x = 10, - 20$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\log_{5} (x - 5) + \log_{5} (x + 15) = 3$ истинным.

$x = 10$