Основы мат. анализа Примеры

$y = 3 \cos (\frac{1}{2} x)$

Этап 1

Применим форму $a \cos (b x - c) + d$ , чтобы найти переменные, используемые для вычисления амплитуды, периода, сдвига фазы и смещения по вертикали.

$a = 3$

$b = \frac{1}{2}$

$c = 0$

$d = 0$

Этап 2

Найдем амплитуду $| a |$ .

Амплитуда: $3$

Этап 3

Найдем период $3 \cos (\frac{x}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.2

Заменим $b$ на $\frac{1}{2}$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Этап 3.3

$\frac{1}{2}$ приблизительно равно $0.5$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Этап 3.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 π \cdot 2$

Этап 3.5

Умножим $2$ на $2$ .

$4 π$

Этап 4

Найдем сдвиг фазы, используя формулу $\frac{c}{b}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сдвиг фазы функции можно вычислить по формуле $\frac{c}{b}$ .

Сдвиг фазы: $\frac{c}{b}$

Этап 4.2

Заменим величины $c$ и $b$ в уравнении на сдвиг фазы.

Сдвиг фазы: $\frac{0}{\frac{1}{2}}$

Этап 4.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

Сдвиг фазы: $0 \cdot 2$

Этап 4.4

Умножим $0$ на $2$ .

Сдвиг фазы: $0$

Этап 5

Перечислим свойства тригонометрической функции.

Амплитуда: $3$

Период: $4 π$

Сдвиг фазы: нет

Смещение по вертикали: нет

Этап 6

Выберем несколько точек для построения графика.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем точку в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = 3 \cos (\frac{0}{2})$

Этап 6.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Разделим $0$ на $2$ .

$f (0) = 3 \cos (0)$

Этап 6.1.2.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (0) = 3 \cdot 1$

Этап 6.1.2.3

Умножим $3$ на $1$ .

$f (0) = 3$

Этап 6.1.2.4

Окончательный ответ: $3$ .

$3$

Этап 6.2

Найдем точку в $x = π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $π$ .

$f (π) = 3 \cos (\frac{π}{2})$

Этап 6.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$f (π) = 3 \cdot 0$

Этап 6.2.2.2

Умножим $3$ на $0$ .

$f (π) = 0$

Этап 6.2.2.3

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 6.3

Найдем точку в $x = 2 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2 π$ .

$f (2 π) = 3 \cos (\frac{2 π}{2})$

Этап 6.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$f (2 π) = 3 \cos (\frac{2 π}{2})$

Этап 6.3.2.1.2

Разделим $π$ на $1$ .

$f (2 π) = 3 \cos (π)$

Этап 6.3.2.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$f (2 π) = 3 (- \cos (0))$

Этап 6.3.2.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (2 π) = 3 (- 1 \cdot 1)$

Этап 6.3.2.4

Умножим $3 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.4.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (2 π) = 3 \cdot - 1$

Этап 6.3.2.4.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f (2 π) = - 3$

Этап 6.3.2.5

Окончательный ответ: $- 3$ .

$- 3$

Этап 6.4

Найдем точку в $x = 3 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3 π$ .

$f (3 π) = 3 \cos (\frac{3 π}{2})$

Этап 6.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$f (3 π) = 3 \cos (\frac{π}{2})$

Этап 6.4.2.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$f (3 π) = 3 \cdot 0$

Этап 6.4.2.3

Умножим $3$ на $0$ .

$f (3 π) = 0$

Этап 6.4.2.4

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 6.5

Найдем точку в $x = 4 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4 π$ .

$f (4 π) = 3 \cos (\frac{4 π}{2})$

Этап 6.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4 π$ .

$f (4 π) = 3 \cos (\frac{2 (2 π)}{2})$

Этап 6.5.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (4 π) = 3 \cos (\frac{2 (2 π)}{2 (1)})$

Этап 6.5.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f (4 π) = 3 \cos (\frac{2 (2 π)}{2 \cdot 1})$

Этап 6.5.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f (4 π) = 3 \cos (\frac{2 π}{1})$

Этап 6.5.2.1.2.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$f (4 π) = 3 \cos (2 π)$

Этап 6.5.2.2

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$f (4 π) = 3 \cos (0)$

Этап 6.5.2.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (4 π) = 3 \cdot 1$

Этап 6.5.2.4

Умножим $3$ на $1$ .

$f (4 π) = 3$

Этап 6.5.2.5

Окончательный ответ: $3$ .

$3$

Этап 6.6

Перечислим точки в таблице.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 3 \\ π & 0 \\ 2 π & - 3 \\ 3 π & 0 \\ 4 π & 3 \end{array}$

Этап 7

График тригонометрической функции можно построить, используя амплитуду, период, сдвиг фазы, смещение по вертикали и точки.

Амплитуда: $3$

Период: $4 π$

Сдвиг фазы: нет

Смещение по вертикали: нет

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 3 \\ π & 0 \\ 2 π & - 3 \\ 3 π & 0 \\ 4 π & 3 \end{array}$

Этап 8