Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \log_{7} (x^{2} - 9)$

Этап 1

Зададим аргумент в $\log_{7} (x^{2} - 9)$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x^{2} - 9 > 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Добавим $9$ к обеим частям неравенства.

$x^{2} > 9$

Этап 2.2

Возьмем указанный корень от обеих частей неравенства, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sqrt{x^{2}} > \sqrt{9}$

Этап 2.3

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | > \sqrt{9}$

Этап 2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Упростим $\sqrt{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$| x | > \sqrt{3^{2}}$

Этап 2.3.2.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | > | 3 |$

Этап 2.3.2.1.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $3$ равно $3$ .

$| x | > 3$

Этап 2.4

Запишем $| x | > 3$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$x \geq 0$

Этап 2.4.2

В части, где $x$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$x > 3$

Этап 2.4.3

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$x < 0$

Этап 2.4.4

В части, где $x$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- x > 3$

Этап 2.4.5

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} x > 3 & x \geq 0 \\ - x > 3 & x < 0 \end{cases}$

Этап 2.5

Найдем пересечение $x > 3$ и $x \geq 0$ .

$x > 3$

Этап 2.6

Разделим каждый член $- x > 3$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Разделим каждый член $- x > 3$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{3}{- 1}$

Этап 2.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} < \frac{3}{- 1}$

Этап 2.6.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x < \frac{3}{- 1}$

Этап 2.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1

Разделим $3$ на $- 1$ .

$x < - 3$

Этап 2.7

Найдем объединение решений.

$x < - 3$ или $x > 3$

Этап 3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, - 3) \cup (3, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x < - 3, x > 3}$

Этап 4