Основы мат. анализа Примеры

$\sec (\arcsin (x - 1))$

Этап 1

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках $(\sqrt{1^{2} - {(x - 1)}^{2}}, x - 1)$ , $(\sqrt{1^{2} - {(x - 1)}^{2}}, 0)$ и начале координат. Тогда $\arcsin (x - 1)$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку $(\sqrt{1^{2} - {(x - 1)}^{2}}, x - 1)$ . Следовательно, $\sec (\arcsin (x - 1))$ равно $\frac{1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$

Этап 2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1^{2} - {(x - 1)}^{2}}}$

Этап 2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = x - 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{(1 + x - 1) (1 - (x - 1))}}$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{(x + 0) (1 - (x - 1))}}$

Этап 2.3.2

Добавим $x$ и $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{x (1 - (x - 1))}}$

Этап 2.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{\sqrt{x (1 - x - - 1)}}$

Этап 2.3.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{x (1 - x + 1)}}$

Этап 2.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{x (- x + 2)}}$

Этап 3

Умножим $\frac{1}{\sqrt{x (- x + 2)}}$ на $\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{\sqrt{x (- x + 2)}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{x (- x + 2)}} \cdot \frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{\sqrt{x (- x + 2)}}$

Этап 4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{x (- x + 2)}}$ на $\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{\sqrt{x (- x + 2)}}$ .

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{\sqrt{x (- x + 2)} \sqrt{x (- x + 2)}}$

Этап 4.2

Возведем $\sqrt{x (- x + 2)}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{{\sqrt{x (- x + 2)}}^{1} \sqrt{x (- x + 2)}}$

Этап 4.3

Возведем $\sqrt{x (- x + 2)}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{{\sqrt{x (- x + 2)}}^{1} {\sqrt{x (- x + 2)}}^{1}}$

Этап 4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{{\sqrt{x (- x + 2)}}^{1 + 1}}$

Этап 4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{{\sqrt{x (- x + 2)}}^{2}}$

Этап 4.6

Перепишем ${\sqrt{x (- x + 2)}}^{2}$ в виде $x (- x + 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x (- x + 2)}$ в виде ${(x (- x + 2))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{{({(x (- x + 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{{(x (- x + 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{{(x (- x + 2))}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{{(x (- x + 2))}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{{(x (- x + 2))}^{1}}$

Этап 4.6.5

Упростим.

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{x (- x + 2)}$

Этап 5

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{x (- (x) + 2)}$

Этап 6

Перепишем $2$ в виде $- 1 (- 2)$ .

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{x (- (x) - 1 (- 2))}$

Этап 7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{x (- (x - 2))}$

Этап 8

Перепишем отрицательные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем $- (x - 2)$ в виде $- 1 (x - 2)$ .

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{x (- 1 (x - 2))}$

Этап 8.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{x (x - 2)}$