Основы мат. анализа Примеры

$7^{\frac{x}{2}} = 5^{1 - x}$

Этап 1

Возьмем логарифм обеих частей уравнения.

$\ln (7^{\frac{x}{2}}) = \ln (5^{1 - x})$

Этап 2

Развернем $\ln (7^{\frac{x}{2}})$ , вынося $\frac{x}{2}$ из логарифма.

$\frac{x}{2} \ln (7) = \ln (5^{1 - x})$

Этап 3

Объединим $\frac{x}{2}$ и $\ln (7)$ .

$\frac{x \ln (7)}{2} = \ln (5^{1 - x})$

Этап 4

Развернем $\ln (5^{1 - x})$ , вынося $1 - x$ из логарифма.

$\frac{x \ln (7)}{2} = (1 - x) \ln (5)$

Этап 5

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим обе части на $2$ .

$\frac{x \ln (7)}{2} \cdot 2 = (1 - x) \ln (5) \cdot 2$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \ln (7)}{2} \cdot 2 = (1 - x) \ln (5) \cdot 2$

Этап 5.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x \ln (7) = (1 - x) \ln (5) \cdot 2$

Этап 5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Упростим $(1 - x) \ln (5) \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x \ln (7) = (1 \ln (5) - x \ln (5)) \cdot 2$

Этап 5.2.2.1.2

Умножим $\ln (5)$ на $1$ .

$x \ln (7) = (\ln (5) - x \ln (5)) \cdot 2$

Этап 5.2.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x \ln (7) = \ln (5) \cdot 2 - x \ln (5) \cdot 2$

Этап 5.2.2.1.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.4.1

Перенесем $2$ влево от $\ln (5)$ .

$x \ln (7) = 2 \cdot \ln (5) - x \ln (5) \cdot 2$

Этап 5.2.2.1.4.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x \ln (7) = 2 \cdot \ln (5) - 2 x \ln (5)$

Этап 5.2.2.1.4.3

Изменим порядок $2 \ln (5)$ и $- 2 x \ln (5)$ .

$x \ln (7) = - 2 x \ln (5) + 2 \ln (5)$

Этап 5.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Добавим $2 x \ln (5)$ к обеим частям уравнения.

$x \ln (7) + 2 x \ln (5) = 2 \ln (5)$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $x$ из $x \ln (7) + 2 x \ln (5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x \ln (7)$ .

$x (\ln (7)) + 2 x \ln (5) = 2 \ln (5)$

Этап 5.3.2.2

Вынесем множитель $x$ из $2 x \ln (5)$ .

$x (\ln (7)) + x (2 \ln (5)) = 2 \ln (5)$

Этап 5.3.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x (\ln (7)) + x (2 \ln (5))$ .

$x (\ln (7) + 2 \ln (5)) = 2 \ln (5)$

Этап 5.3.3

Разделим каждый член $x (\ln (7) + 2 \ln (5)) = 2 \ln (5)$ на $\ln (7) + 2 \ln (5)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Разделим каждый член $x (\ln (7) + 2 \ln (5)) = 2 \ln (5)$ на $\ln (7) + 2 \ln (5)$ .

$\frac{x (\ln (7) + 2 \ln (5))}{\ln (7) + 2 \ln (5)} = \frac{2 \ln (5)}{\ln (7) + 2 \ln (5)}$

Этап 5.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Сократим общий множитель $\ln (7) + 2 \ln (5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x (\ln (7) + 2 \ln (5))}{\ln (7) + 2 \ln (5)} = \frac{2 \ln (5)}{\ln (7) + 2 \ln (5)}$

Этап 5.3.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{2 \ln (5)}{\ln (7) + 2 \ln (5)}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{2 \ln (5)}{\ln (7) + 2 \ln (5)}$

Десятичная форма:

$x = 0.62323508 \dots$