Основы мат. анализа Примеры

$\frac{1}{x} = \frac{1}{y} + \frac{1}{z}$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $\frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{x}$

Этап 2

Вычтем $\frac{1}{z}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{1}{y} = \frac{1}{x} - \frac{1}{z}$

Этап 3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y, x, z$

Этап 3.2

Since $y, x, z$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $y^{1}, x^{1}, z^{1}$ .

Этап 3.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 3.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 3.5

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 3.6

Множителем $y^{1}$ является само значение $y$ .

$y^{1} = y$

$y$ встречается $1$ раз.

Этап 3.7

Множителем $x^{1}$ является само значение $x$ .

$x^{1} = x$

$x$ встречается $1$ раз.

Этап 3.8

Множителем $z^{1}$ является само значение $z$ .

$z^{1} = z$

$z$ встречается $1$ раз.

Этап 3.9

НОК $y^{1}, x^{1}, z^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$y \cdot x \cdot z$

Этап 3.10

Умножим $y x$ на $z$ .

$y x z$

Этап 4

Каждый член в $\frac{1}{y} = \frac{1}{x} - \frac{1}{z}$ умножим на $y x z$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим каждый член $\frac{1}{y} = \frac{1}{x} - \frac{1}{z}$ на $y x z$ .

$\frac{1}{y} (y x z) = \frac{1}{x} (y x z) - \frac{1}{z} (y x z)$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Вынесем множитель $y$ из $y x z$ .

$\frac{1}{y} (y (x z)) = \frac{1}{x} (y x z) - \frac{1}{z} (y x z)$

Этап 4.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y} (y (x z)) = \frac{1}{x} (y x z) - \frac{1}{z} (y x z)$

Этап 4.2.1.3

Перепишем это выражение.

$x z = \frac{1}{x} (y x z) - \frac{1}{z} (y x z)$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $y x z$ .

$x z = \frac{1}{x} (x (y z)) - \frac{1}{z} (y x z)$

Этап 4.3.1.1.2

Сократим общий множитель.

$x z = \frac{1}{x} (x (y z)) - \frac{1}{z} (y x z)$

Этап 4.3.1.1.3

Перепишем это выражение.

$x z = y z - \frac{1}{z} (y x z)$

Этап 4.3.1.2

Сократим общий множитель $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{z}$ в числитель.

$x z = y z + \frac{- 1}{z} (y x z)$

Этап 4.3.1.2.2

Вынесем множитель $z$ из $y x z$ .

$x z = y z + \frac{- 1}{z} (z (y x))$

Этап 4.3.1.2.3

Сократим общий множитель.

$x z = y z + \frac{- 1}{z} (z (y x))$

Этап 4.3.1.2.4

Перепишем это выражение.

$x z = y z - (y x)$

$x z = y z - y x$

Этап 5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $y z - y x = x z$ .

$y z - y x = x z$

Этап 5.2

Вынесем множитель $y$ из $y z - y x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $y$ из $y z$ .

$y (z) - y x = x z$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $y$ из $- y x$ .

$y (z) + y (- 1 x) = x z$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $y$ из $y (z) + y (- 1 x)$ .

$y (z - 1 x) = x z$

Этап 5.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$y (z - x) = x z$

Этап 5.4

Разделим каждый член $y (z - x) = x z$ на $z - x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разделим каждый член $y (z - x) = x z$ на $z - x$ .

$\frac{y (z - x)}{z - x} = \frac{x z}{z - x}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $z - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (z - x)}{z - x} = \frac{x z}{z - x}$

Этап 5.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{x z}{z - x}$