Основы мат. анализа Примеры

$\frac{x + 2}{x + 3} < \frac{x - 1}{x - 2}$

Этап 1

Вычтем $\frac{x - 1}{x - 2}$ из обеих частей неравенства.

$\frac{x + 2}{x + 3} - \frac{x - 1}{x - 2} < 0$

Этап 2

Упростим $\frac{x + 2}{x + 3} - \frac{x - 1}{x - 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $\frac{x + 2}{x + 3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x + 2}{x + 3} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{x - 1}{x - 2} < 0$

Этап 2.2

Чтобы записать $- \frac{x - 1}{x - 2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{x + 2}{x + 3} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{x - 1}{x - 2} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} < 0$

Этап 2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x + 3) (x - 2)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $\frac{x + 2}{x + 3}$ на $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 3) (x - 2)} - \frac{x - 1}{x - 2} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} < 0$

Этап 2.3.2

Умножим $\frac{x - 1}{x - 2}$ на $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 3) (x - 2)} - \frac{(x - 1) (x + 3)}{(x - 2) (x + 3)} < 0$

Этап 2.3.3

Изменим порядок множителей в $(x - 2) (x + 3)$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 3) (x - 2)} - \frac{(x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(x + 2) (x - 2) - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Этап 2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Развернем $(x + 2) (x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (x - 2) + 2 (x - 2) - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Этап 2.5.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2) - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Этап 2.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2 - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Этап 2.5.2

Объединим противоположные члены в $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Изменим порядок множителей в членах $x \cdot - 2$ и $2 x$ .

$\frac{x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2 - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Этап 2.5.2.2

Добавим $- 2 x$ и $2 x$ .

$\frac{x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2 - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Этап 2.5.2.3

Добавим $x \cdot x$ и $0$ .

$\frac{x \cdot x + 2 \cdot - 2 - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Этап 2.5.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{x^{2} + 2 \cdot - 2 - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Этап 2.5.3.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\frac{x^{2} - 4 - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Этап 2.5.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} - 4 + (- x - - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Этап 2.5.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 4 + (- x + 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Этап 2.5.6

Развернем $(- x + 1) (x + 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} - 4 - x (x + 3) + 1 (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Этап 2.5.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} - 4 - x \cdot x - x \cdot 3 + 1 (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Этап 2.5.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} - 4 - x \cdot x - x \cdot 3 + 1 x + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Этап 2.5.7

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.7.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.7.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{x^{2} - 4 - (x \cdot x) - x \cdot 3 + 1 x + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Этап 2.5.7.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{x^{2} - 4 - x^{2} - x \cdot 3 + 1 x + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Этап 2.5.7.1.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 4 - x^{2} - 3 x + 1 x + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Этап 2.5.7.1.3

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{x^{2} - 4 - x^{2} - 3 x + x + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Этап 2.5.7.1.4

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{x^{2} - 4 - x^{2} - 3 x + x + 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Этап 2.5.7.2

Добавим $- 3 x$ и $x$ .

$\frac{x^{2} - 4 - x^{2} - 2 x + 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Этап 2.5.8

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$\frac{0 - 4 - 2 x + 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Этап 2.5.9

Вычтем $4$ из $0$ .

$\frac{- 4 - 2 x + 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Этап 2.5.10

Добавим $- 4$ и $3$ .

$\frac{- 2 x - 1}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Этап 2.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x$ .

$\frac{- (2 x) - 1}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Этап 2.7

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\frac{- (2 x) - 1 (1)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Этап 2.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (2 x + 1)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Этап 2.9

Перепишем $- (2 x + 1)$ в виде $- 1 (2 x + 1)$ .

$\frac{- 1 (2 x + 1)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Этап 2.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 x + 1}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Этап 3

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$2 x + 1 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 4

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 1$

Этап 5

Разделим каждый член $2 x = - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $2 x = - 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 5.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{2}$

Этап 6

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 7

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 8

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = - \frac{1}{2}$

$x = - 3$

$x = 2$

Этап 9

Объединим решения.

$x = - \frac{1}{2}, - 3, 2$

Этап 10

Найдем область определения $- \frac{2 x + 1}{(x + 3) (x - 2)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Зададим знаменатель в $\frac{2 x + 1}{(x + 3) (x - 2)}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$(x + 3) (x - 2) = 0$

Этап 10.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 10.2.2

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 10.2.2.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 10.2.3

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 10.2.3.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 10.2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 3) (x - 2) = 0$ верно.

$x = - 3, 2$

Этап 10.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 2) \cup (2, \infty)$

Этап 11

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 3$

$- 3 < x < - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < x < 2$

$x > 2$

Этап 12

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Проверим значение на интервале $x < - 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 12.1.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

$\frac{(- 6) + 2}{(- 6) + 3} < \frac{(- 6) - 1}{(- 6) - 2}$

Этап 12.1.3

Левая часть $1.\overline{3}$ не меньше правой части $0.875$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 12.2

Проверим значение на интервале $- 3 < x < - \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Выберем значение на интервале $- 3 < x < - \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 12.2.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$\frac{(- 2) + 2}{(- 2) + 3} < \frac{(- 2) - 1}{(- 2) - 2}$

Этап 12.2.3

Левая часть $0$ меньше правой части $0.75$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 12.3

Проверим значение на интервале $- \frac{1}{2} < x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Выберем значение на интервале $- \frac{1}{2} < x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 12.3.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{(0) + 2}{(0) + 3} < \frac{(0) - 1}{(0) - 2}$

Этап 12.3.3

Левая часть $0.\overline{6}$ не меньше правой части $0.5$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 12.4

Проверим значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.1

Выберем значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 12.4.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\frac{(4) + 2}{(4) + 3} < \frac{(4) - 1}{(4) - 2}$

Этап 12.4.3

Левая часть $0.\overline{857142}$ меньше правой части $1.5$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 12.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 3$ Ложь

$- 3 < x < - \frac{1}{2}$ Истина

$- \frac{1}{2} < x < 2$ Ложь

$x > 2$ Истина

$x < - 3$ Ложь

$- 3 < x < - \frac{1}{2}$ Истина

$- \frac{1}{2} < x < 2$ Ложь

$x > 2$ Истина

Этап 13

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 3 < x < - \frac{1}{2}$ или $x > 2$

Этап 14

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- 3, - \frac{1}{2}) \cup (2, \infty)$

Этап 15