Основы мат. анализа Примеры

$\sqrt{x} + \sqrt{2 x} = 1$

Этап 1

Вычтем $\sqrt{2 x}$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt{x} = 1 - \sqrt{2 x}$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{x}}^{2} = {(1 - \sqrt{2 x})}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(1 - \sqrt{2 x})}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 - \sqrt{2 x})}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 - \sqrt{2 x})}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = {(1 - \sqrt{2 x})}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Упростим.

$x = {(1 - \sqrt{2 x})}^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим ${(1 - \sqrt{2 x})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем ${(1 - \sqrt{2 x})}^{2}$ в виде $(1 - \sqrt{2 x}) (1 - \sqrt{2 x})$ .

$x = (1 - \sqrt{2 x}) (1 - \sqrt{2 x})$

Этап 3.3.1.2

Развернем $(1 - \sqrt{2 x}) (1 - \sqrt{2 x})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x = 1 (1 - \sqrt{2 x}) - \sqrt{2 x} (1 - \sqrt{2 x})$

Этап 3.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x = 1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{2 x}) - \sqrt{2 x} (1 - \sqrt{2 x})$

Этап 3.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x = 1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{2 x}) - \sqrt{2 x} \cdot 1 - \sqrt{2 x} (- \sqrt{2 x})$

Этап 3.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$x = 1 + 1 (- \sqrt{2 x}) - \sqrt{2 x} \cdot 1 - \sqrt{2 x} (- \sqrt{2 x})$

Этап 3.3.1.3.1.2

Умножим $- \sqrt{2 x}$ на $1$ .

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} \cdot 1 - \sqrt{2 x} (- \sqrt{2 x})$

Этап 3.3.1.3.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} (- \sqrt{2 x})$

Этап 3.3.1.3.1.4

Умножим $- \sqrt{2 x} (- \sqrt{2 x})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + 1 \sqrt{2 x} \sqrt{2 x}$

Этап 3.3.1.3.1.4.2

Умножим $\sqrt{2 x}$ на $1$ .

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} \sqrt{2 x}$

Этап 3.3.1.3.1.4.3

Возведем $\sqrt{2 x}$ в степень $1$ .

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + {\sqrt{2 x}}^{1} \sqrt{2 x}$

Этап 3.3.1.3.1.4.4

Возведем $\sqrt{2 x}$ в степень $1$ .

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + {\sqrt{2 x}}^{1} {\sqrt{2 x}}^{1}$

Этап 3.3.1.3.1.4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + {\sqrt{2 x}}^{1 + 1}$

Этап 3.3.1.3.1.4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + {\sqrt{2 x}}^{2}$

Этап 3.3.1.3.1.5

Перепишем ${\sqrt{2 x}}^{2}$ в виде $2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 x}$ в виде ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + {({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 3.3.1.3.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + {(2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 3.3.1.3.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + {(2 x)}^{\frac{2}{2}}$

Этап 3.3.1.3.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + {(2 x)}^{\frac{2}{2}}$

Этап 3.3.1.3.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + {(2 x)}^{1}$

Этап 3.3.1.3.1.5.5

Упростим.

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + 2 x$

Этап 3.3.1.3.2

Вычтем $\sqrt{2 x}$ из $- \sqrt{2 x}$ .

$x = 1 - 2 \sqrt{2 x} + 2 x$

Этап 4

Решим относительно $- 2 \sqrt{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $1 - 2 \sqrt{2 x} + 2 x = x$ .

$1 - 2 \sqrt{2 x} + 2 x = x$

Этап 4.2

Перенесем все члены без $- 2 \sqrt{2 x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 2 \sqrt{2 x} + 2 x = x - 1$

Этап 4.2.2

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$- 2 \sqrt{2 x} = x - 1 - 2 x$

Этап 4.2.3

Вычтем $2 x$ из $x$ .

$- 2 \sqrt{2 x} = - x - 1$

Этап 5

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(- 2 \sqrt{2 x})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Этап 6

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 x}$ в виде ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 2 {(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Этап 6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим ${(- 2 {(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Применим правило умножения к $2 x$ .

${(- 2 (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}))}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Этап 6.2.1.2

Умножим $- 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.2.1

Вынесем за скобки отрицательное значение.

${(- (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Этап 6.2.1.2.2

Возведем $2$ в степень $1$ .

${(- (2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Этап 6.2.1.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${(- 2^{1 + \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Этап 6.2.1.2.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

${(- 2^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Этап 6.2.1.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

${(- 2^{\frac{2 + 1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Этап 6.2.1.2.6

Добавим $2$ и $1$ .

${(- 2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Этап 6.2.1.3

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.1

Применим правило умножения к $- 2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 2^{\frac{3}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Этап 6.2.1.3.2

Применим правило умножения к $- 2^{\frac{3}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {(2^{\frac{3}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Этап 6.2.1.4

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$1 {(2^{\frac{3}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Этап 6.2.1.5

Умножим ${(2^{\frac{3}{2}})}^{2}$ на $1$ .

${(2^{\frac{3}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Этап 6.2.1.6

Перемножим экспоненты в ${(2^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.6.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{3}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Этап 6.2.1.6.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.6.2.1

Сократим общий множитель.

$2^{\frac{3}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Этап 6.2.1.6.2.2

Перепишем это выражение.

$2^{3} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Этап 6.2.1.7

Возведем $2$ в степень $3$ .

$8 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Этап 6.2.1.8

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.8.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x - 1)}^{2}$

Этап 6.2.1.8.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.8.2.1

Сократим общий множитель.

$8 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x - 1)}^{2}$

Этап 6.2.1.8.2.2

Перепишем это выражение.

$8 x^{1} = {(- x - 1)}^{2}$

Этап 6.2.1.9

Упростим.

$8 x = {(- x - 1)}^{2}$

Этап 6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Упростим ${(- x - 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Перепишем ${(- x - 1)}^{2}$ в виде $(- x - 1) (- x - 1)$ .

$8 x = (- x - 1) (- x - 1)$

Этап 6.3.1.2

Развернем $(- x - 1) (- x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$8 x = - x (- x - 1) - 1 (- x - 1)$

Этап 6.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$8 x = - x (- x) - x \cdot - 1 - 1 (- x - 1)$

Этап 6.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$8 x = - x (- x) - x \cdot - 1 - 1 (- x) - 1 \cdot - 1$

Этап 6.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$8 x = - 1 \cdot - 1 x \cdot x - x \cdot - 1 - 1 (- x) - 1 \cdot - 1$

Этап 6.3.1.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$8 x = - 1 \cdot - 1 (x \cdot x) - x \cdot - 1 - 1 (- x) - 1 \cdot - 1$

Этап 6.3.1.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$8 x = - 1 \cdot - 1 x^{2} - x \cdot - 1 - 1 (- x) - 1 \cdot - 1$

Этап 6.3.1.3.1.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$8 x = 1 x^{2} - x \cdot - 1 - 1 (- x) - 1 \cdot - 1$

Этап 6.3.1.3.1.4

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$8 x = x^{2} - x \cdot - 1 - 1 (- x) - 1 \cdot - 1$

Этап 6.3.1.3.1.5

Умножим $- x \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$8 x = x^{2} + 1 x - 1 (- x) - 1 \cdot - 1$

Этап 6.3.1.3.1.5.2

Умножим $x$ на $1$ .

$8 x = x^{2} + x - 1 (- x) - 1 \cdot - 1$

Этап 6.3.1.3.1.6

Умножим $- 1 (- x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1.6.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$8 x = x^{2} + x + 1 x - 1 \cdot - 1$

Этап 6.3.1.3.1.6.2

Умножим $x$ на $1$ .

$8 x = x^{2} + x + x - 1 \cdot - 1$

Этап 6.3.1.3.1.7

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$8 x = x^{2} + x + x + 1$

Этап 6.3.1.3.2

Добавим $x$ и $x$ .

$8 x = x^{2} + 2 x + 1$

Этап 7

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$x^{2} + 2 x + 1 = 8 x$

Этап 7.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вычтем $8 x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + 2 x + 1 - 8 x = 0$

Этап 7.2.2

Вычтем $8 x$ из $2 x$ .

$x^{2} - 6 x + 1 = 0$

Этап 7.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 7.4

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 6$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1.1

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.5.1.3

Вычтем $4$ из $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.5.1.4

Перепишем $32$ в виде $4^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1.4.1

Вынесем множитель $16$ из $32$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.5.1.4.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{6 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{6 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

Этап 7.5.3

Упростим $\frac{6 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 3 \pm 2 \sqrt{2}$

Этап 7.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = 3 + 2 \sqrt{2}, 3 - 2 \sqrt{2}$

Этап 8

Исключим решения, которые не делают $\sqrt{x} + \sqrt{2 x} = 1$ истинным.

$x = 3 - 2 \sqrt{2}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = 3 - 2 \sqrt{2}$

Десятичная форма:

$x = 0.17157287 \dots$