Основы мат. анализа Примеры

$y = \tan (x - \frac{π}{4})$

Этап 1

Найдем асимптоты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вертикальные асимптоты функции $y = \tan (x)$ находятся в точках $x = \frac{π}{2} + n π$ , где $n$ — целое число. Используя основной период $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ для $y = \tan (x)$ , найдем вертикальные асимптоты для $y = \tan (x - \frac{π}{4})$ . Положив аргумент тангенса, $b x + c$ , равным $- \frac{π}{2}$ в выражении $y = a \tan (b x + c) + d$ , найдем положение вертикальной асимптоты для $y = \tan (x - \frac{π}{4})$ .

$x - \frac{π}{4} = - \frac{π}{2}$

Этап 1.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Добавим $\frac{π}{4}$ к обеим частям уравнения.

$x = - \frac{π}{2} + \frac{π}{4}$

Этап 1.2.2

Чтобы записать $- \frac{π}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{4}$

Этап 1.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$x = - \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{π}{4}$

Этап 1.2.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = - \frac{π \cdot 2}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 1.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{- π \cdot 2 + π}{4}$

Этап 1.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 2 π + π}{4}$

Этап 1.2.5.2

Добавим $- 2 π$ и $π$ .

$x = \frac{- π}{4}$

Этап 1.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{π}{4}$

Этап 1.3

Приравняем аргумент $x - \frac{π}{4}$ функции тангенса к $\frac{π}{2}$ .

$x - \frac{π}{4} = \frac{π}{2}$

Этап 1.4

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Добавим $\frac{π}{4}$ к обеим частям уравнения.

$x = \frac{π}{2} + \frac{π}{4}$

Этап 1.4.2

Чтобы записать $\frac{π}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{4}$

Этап 1.4.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{π}{4}$

Этап 1.4.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 1.4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 2 + π}{4}$

Этап 1.4.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.5.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π + π}{4}$

Этап 1.4.5.2

Добавим $2 π$ и $π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Этап 1.5

Основной период $y = \tan (x - \frac{π}{4})$ находится на промежутке $(- \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4})$ , где $- \frac{π}{4}$ и $\frac{3 π}{4}$ являются вертикальными асимптотами.

$(- \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4})$

Этап 1.6

Найдем период $\frac{π}{| b |}$ , чтобы найти, где находятся вертикальные асимптоты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 1.6.2

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 1.7

Вертикальные асимптоты $y = \tan (x - \frac{π}{4})$ находятся в точках $- \frac{π}{4}$ , $\frac{3 π}{4}$ и в каждой точке $x = - \frac{π}{4} + π n$ , где $n$ ― целое число.

$x = - \frac{π}{4} + π n$

Этап 1.8

У тангенса есть только вертикальные асимптоты.

Нет горизонтальных асимптот

Нет наклонных асимптот

Вертикальные асимптоты: $x = - \frac{π}{4} + π n$ , где $n$ — целое число

Нет горизонтальных асимптот

Нет наклонных асимптот

Вертикальные асимптоты: $x = - \frac{π}{4} + π n$ , где $n$ — целое число

Этап 2

Применим форму $a \tan (b x - c) + d$ , чтобы найти переменные, используемые для вычисления амплитуды, периода, сдвига фазы и смещения по вертикали.

$a = 1$

$b = 1$

$c = \frac{π}{4}$

$d = 0$

Этап 3

Поскольку график функции $t a n$ не имеет максимального или минимального значения, его амплитуда не может быть определена.

Амплитуда: нет

Этап 4

Найдем период $\tan (x - \frac{π}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 4.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 4.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 4.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 5

Найдем сдвиг фазы, используя формулу $\frac{c}{b}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сдвиг фазы функции можно вычислить по формуле $\frac{c}{b}$ .

Сдвиг фазы: $\frac{c}{b}$

Этап 5.2

Заменим величины $c$ и $b$ в уравнении на сдвиг фазы.

Сдвиг фазы: $\frac{\frac{π}{4}}{1}$

Этап 5.3

Разделим $\frac{π}{4}$ на $1$ .

Сдвиг фазы: $\frac{π}{4}$

Этап 6

Перечислим свойства тригонометрической функции.

Амплитуда: нет

Период: $π$

Сдвиг фазы: $\frac{π}{4}$ ( $\frac{π}{4}$ вправо)

Смещение по вертикали: нет

Этап 7

График тригонометрической функции можно построить, используя амплитуду, период, сдвиг фазы, смещение по вертикали и точки.

Вертикальные асимптоты: $x = - \frac{π}{4} + π n$ , где $n$ — целое число

Амплитуда: нет

Период: $π$

Сдвиг фазы: $\frac{π}{4}$ ( $\frac{π}{4}$ вправо)

Смещение по вертикали: нет

Этап 8