Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \sqrt[4]{x^{2} + 3 x}$

Этап 1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt[4]{x^{2} + 3 x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x^{2} + 3 x \geq 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$x^{2} + 3 x = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} + 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$x \cdot x + 3 x = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем множитель $x$ из $3 x$ .

$x \cdot x + x \cdot 3 = 0$

Этап 2.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot 3$ .

$x (x + 3) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x + 3 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.5

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 2.5.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x + 3) = 0$ верно.

$x = 0, - 3$

Этап 2.7

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 3$

$- 3 < x < 0$

$x > 0$

Этап 2.8

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Проверим значение на интервале $x < - 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 2.8.1.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

${(- 6)}^{2} + 3 (- 6) \geq 0$

Этап 2.8.1.3

Левая часть $18$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 2.8.2

Проверим значение на интервале $- 3 < x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Выберем значение на интервале $- 3 < x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 2.8.2.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

${(- 2)}^{2} + 3 (- 2) \geq 0$

Этап 2.8.2.3

Левая часть $- 2$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 2.8.3

Проверим значение на интервале $x > 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.3.1

Выберем значение на интервале $x > 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 2.8.3.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

${(2)}^{2} + 3 (2) \geq 0$

Этап 2.8.3.3

Левая часть $10$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 2.8.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 3$ Истина

$- 3 < x < 0$ Ложь

$x > 0$ Истина

$x < - 3$ Истина

$- 3 < x < 0$ Ложь

$x > 0$ Истина

Этап 2.9

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq - 3$ или $x \geq 0$

Этап 3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, - 3] \cup [0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \leq - 3, x \geq 0}$

Этап 4