Основы мат. анализа Примеры

$\sqrt{2 x + 1} + 1 = x$

Этап 1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt{2 x + 1} = x - 1$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{2 x + 1}}^{2} = {(x - 1)}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 x + 1}$ в виде ${(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 1)}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${({(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 1)}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(2 x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 1)}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(2 x + 1)}^{1} = {(x - 1)}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Упростим.

$2 x + 1 = {(x - 1)}^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим ${(x - 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем ${(x - 1)}^{2}$ в виде $(x - 1) (x - 1)$ .

$2 x + 1 = (x - 1) (x - 1)$

Этап 3.3.1.2

Развернем $(x - 1) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x + 1 = x (x - 1) - 1 (x - 1)$

Этап 3.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x + 1 = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)$

Этап 3.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x + 1 = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Этап 3.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$2 x + 1 = x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Этап 3.3.1.3.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$2 x + 1 = x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Этап 3.3.1.3.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$2 x + 1 = x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Этап 3.3.1.3.1.4

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$2 x + 1 = x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1$

Этап 3.3.1.3.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$2 x + 1 = x^{2} - x - x + 1$

Этап 3.3.1.3.2

Вычтем $x$ из $- x$ .

$2 x + 1 = x^{2} - 2 x + 1$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$x^{2} - 2 x + 1 = 2 x + 1$

Этап 4.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 2 x + 1 - 2 x = 1$

Этап 4.2.2

Вычтем $2 x$ из $- 2 x$ .

$x^{2} - 4 x + 1 = 1$

Этап 4.3

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 4 x + 1 - 1 = 0$

Этап 4.4

Объединим противоположные члены в $x^{2} - 4 x + 1 - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$x^{2} - 4 x + 0 = 0$

Этап 4.4.2

Добавим $x^{2} - 4 x$ и $0$ .

$x^{2} - 4 x = 0$

Этап 4.5

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$x \cdot x - 4 x = 0$

Этап 4.5.2

Вынесем множитель $x$ из $- 4 x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 4 = 0$

Этап 4.5.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot - 4$ .

$x (x - 4) = 0$

Этап 4.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 4 = 0$

Этап 4.7

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 4.8

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 4.8.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 4.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x - 4) = 0$ верно.

$x = 0, 4$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $\sqrt{2 x + 1} + 1 = x$ истинным.

$x = 4$