Основы мат. анализа Примеры

$x^{4} - 5 x^{2} - 4 = 0$

Этап 1

Подставим $u = x^{2}$ в уравнение. Это упростит использование формулы для корней квадратного уравнения.

$u^{2} - 5 u - 4 = 0$

$u = x^{2}$

Этап 2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 5$ и $c = - 4$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $u$ .

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.3

Добавим $25$ и $16$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{41}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{41}}{2}$

Этап 5

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$u = \frac{5 + \sqrt{41}}{2}, \frac{5 - \sqrt{41}}{2}$

Этап 6

Подставим вещественное значение $u = x^{2}$ обратно в решенное уравнение.

$x^{2} = 5.70156211$

${(x^{2})}^{1} = - 0.70156211$

Этап 7

Решим первое уравнение относительно $x$ .

$x^{2} = 5.70156211$

Этап 8

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{5.70156211}$

Этап 8.2

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{5.70156211}$

Этап 8.2.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{5.70156211}$

Этап 8.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{5.70156211}, - \sqrt{5.70156211}$

Этап 9

Решим второе уравнение относительно $x$ .

${(x^{2})}^{1} = - 0.70156211$

Этап 10

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Избавимся от скобок.

$x^{2} = - 0.70156211$

Этап 10.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{- 0.70156211}$

Этап 10.3

Упростим $\pm \sqrt{- 0.70156211}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Перепишем $- 0.70156211$ в виде $- 1 (0.70156211)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (0.70156211)}$

Этап 10.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (0.70156211)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{0.70156211}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{0.70156211}$

Этап 10.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \sqrt{0.70156211}$

Этап 10.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = i \sqrt{0.70156211}$

Этап 10.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - i \sqrt{0.70156211}$

Этап 10.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = i \sqrt{0.70156211}, - i \sqrt{0.70156211}$

Этап 11

Решением $x^{4} - 5 x^{2} - 4 = 0$ является $x = \sqrt{5.70156211}, - \sqrt{5.70156211}, i \sqrt{0.70156211}, - i \sqrt{0.70156211}$ .

$x = \sqrt{5.70156211}, - \sqrt{5.70156211}, i \sqrt{0.70156211}, - i \sqrt{0.70156211}$