Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}$ в виде уравнения.

$y = \frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{4^{y}}{1 + 4^{y}}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{4^{y}}{1 + 4^{y}} = x$ .

$\frac{4^{y}}{1 + 4^{y}} = x$

Этап 3.2

Умножим обе части на $1 + 4^{y}$ .

$\frac{4^{y}}{1 + 4^{y}} (1 + 4^{y}) = x (1 + 4^{y})$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель $1 + 4^{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4^{y}}{1 + 4^{y}} (1 + 4^{y}) = x (1 + 4^{y})$

Этап 3.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$4^{y} = x (1 + 4^{y})$

Этап 3.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим $x (1 + 4^{y})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4^{y} = x \cdot 1 + x \cdot 4^{y}$

Этап 3.3.2.1.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.2.1

Умножим $x$ на $1$ .

$4^{y} = x + x \cdot 4^{y}$

Этап 3.3.2.1.2.2

Изменим порядок $x$ и $4^{y}$ .

$4^{y} = x + 4^{y} \cdot x$

Этап 3.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Изменим порядок множителей в $x + 4^{y} x$ .

$4^{y} = x + x \cdot 4^{y}$

Этап 3.4.2

Вычтем $x \cdot 4^{y}$ из обеих частей уравнения.

$4^{y} - x \cdot 4^{y} = x$

Этап 3.4.3

Вынесем множитель $4^{y}$ из $4^{y} - x \cdot 4^{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Умножим на $1$ .

$4^{y} \cdot 1 - x \cdot 4^{y} = x$

Этап 3.4.3.2

Вынесем множитель $4^{y}$ из $- x \cdot 4^{y}$ .

$4^{y} \cdot 1 + 4^{y} \cdot (- x) = x$

Этап 3.4.3.3

Вынесем множитель $4^{y}$ из $4^{y} \cdot 1 + 4^{y} \cdot (- x)$ .

$4^{y} (1 - x) = x$

Этап 3.4.4

Разделим каждый член $4^{y} (1 - x) = x$ на $1 - x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Разделим каждый член $4^{y} (1 - x) = x$ на $1 - x$ .

$\frac{4^{y} (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x}$

Этап 3.4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1

Сократим общий множитель $1 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4^{y} (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x}$

Этап 3.4.4.2.1.2

Разделим $4^{y}$ на $1$ .

$4^{y} = \frac{x}{1 - x}$

Этап 3.4.5

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (4^{y}) = \ln (\frac{x}{1 - x})$

Этап 3.4.6

Развернем $\ln (4^{y})$ , вынося $y$ из логарифма.

$y \ln (4) = \ln (\frac{x}{1 - x})$

Этап 3.4.7

Разделим каждый член $y \ln (4) = \ln (\frac{x}{1 - x})$ на $\ln (4)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.7.1

Разделим каждый член $y \ln (4) = \ln (\frac{x}{1 - x})$ на $\ln (4)$ .

$\frac{y \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$

Этап 3.4.7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.7.2.1

Сократим общий множитель $\ln (4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$

Этап 3.4.7.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$ обратной к $f (x) = \frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}}{1 - (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}})})}{\ln (4)}$

Этап 5.2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}}{\frac{1 + 4^{x}}{1 + 4^{x}} - \frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}})}{\ln (4)}$

Этап 5.2.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}}{\frac{1 + 4^{x} - 4^{x}}{1 + 4^{x}}})}{\ln (4)}$

Этап 5.2.3.3

Перепишем $\frac{1 + 4^{x} - 4^{x}}{1 + 4^{x}}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.1

Вычтем $4^{x}$ из $4^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}}{\frac{1 + 0}{1 + 4^{x}}})}{\ln (4)}$

Этап 5.2.3.3.2

Добавим $1$ и $0$ .

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}}{\frac{1}{1 + 4^{x}}})}{\ln (4)}$

Этап 5.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}} \cdot (1 + 4^{x}))}{\ln (4)}$

Этап 5.2.4.2

Сократим общий множитель $1 + 4^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.2.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}} \cdot (1 + 4^{x}))}{\ln (4)}$

Этап 5.2.4.2.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (4^{x})}{\ln (4)}$

Этап 5.2.5

Развернем $\ln (4^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{x \ln (4)}{\ln (4)}$

Этап 5.2.6

Сократим общий множитель $\ln (4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{x \ln (4)}{\ln (4)}$

Этап 5.2.6.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{4^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}}}{1 + 4^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}}}$

Этап 5.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Используем изменение основного правила $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{4^{\log_{4} (\frac{x}{1 - x})}}{1 + 4^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}}}$

Этап 5.3.3.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{1 + 4^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}}}$

Этап 5.3.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Используем изменение основного правила $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{1 + 4^{\log_{4} (\frac{x}{1 - x})}}$

Этап 5.3.4.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{1 + \frac{x}{1 - x}}$

Этап 5.3.4.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{\frac{1 - x}{1 - x} + \frac{x}{1 - x}}$

Этап 5.3.4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{\frac{1 - x + x}{1 - x}}$

Этап 5.3.4.5

Перепишем $\frac{1 - x + x}{1 - x}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.5.1

Добавим $- x$ и $x$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{\frac{1 + 0}{1 - x}}$

Этап 5.3.4.5.2

Добавим $1$ и $0$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{\frac{1}{1 - x}}$

Этап 5.3.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{x}{1 - x} \cdot (1 - x)$

Этап 5.3.6

Сократим общий множитель $1 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{x}{1 - x} \cdot (1 - x)$

Этап 5.3.6.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$ — обратная к $f (x) = \frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$