Основы мат. анализа Примеры

$\sec (4 x) = 2$

Step 1

Применим обратный секанс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $x$ из-под знака секанса.

$4 x = arcsec (2)$

Step 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Точное значение $arcsec (2)$ : $\frac{π}{3}$ .

$4 x = \frac{π}{3}$

Step 3

Разделим каждый член $4 x = \frac{π}{3}$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $4 x = \frac{π}{3}$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{3}}{4}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{3}}{4}$

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{3}}{4}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Умножим $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $\frac{π}{3}$ на $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{π}{3 \cdot 4}$

Умножим $3$ на $4$ .

$x = \frac{π}{12}$

Step 4

Функция секанса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$4 x = 2 π - \frac{π}{3}$

Step 5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$4 x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Объединим $2 π$ и $\frac{3}{3}$ .

$4 x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Умножим $3$ на $2$ .

$4 x = \frac{6 π - π}{3}$

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$4 x = \frac{5 π}{3}$

Разделим каждый член $4 x = \frac{5 π}{3}$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $4 x = \frac{5 π}{3}$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{5 π}{3}}{4}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{5 π}{3}}{4}$

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{5 π}{3}}{4}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Умножим $\frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $\frac{5 π}{3}$ на $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{5 π}{3 \cdot 4}$

Умножим $3$ на $4$ .

$x = \frac{5 π}{12}$

Step 6

Найдем период $\sec (4 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Заменим $b$ на $4$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 4 |}$

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $4$ равно $4$ .

$\frac{2 π}{4}$

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$\frac{2 (π)}{4}$

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Перепишем это выражение.

$\frac{π}{2}$

Step 7

Период функции $\sec (4 x)$ равен $\frac{π}{2}$ . Поэтому значения повторяются через каждые $\frac{π}{2}$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{12} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{12} + \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$