Основы мат. анализа Примеры

$\sin (2 x) = - \frac{1}{2}$

Step 1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$2 x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Step 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Точное значение $\arcsin (- \frac{1}{2})$ : $- \frac{π}{6}$ .

$2 x = - \frac{π}{6}$

Step 3

Разделим каждый член $2 x = - \frac{π}{6}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $2 x = - \frac{π}{6}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = - \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Умножим $- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{2 \cdot 6}$

Умножим $2$ на $6$ .

$x = - \frac{π}{12}$

Step 4

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$2 x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Step 5

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$2 x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Результирующий угол $\frac{7 π}{6}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{6} + π$ на полный оборот.

$2 x = \frac{7 π}{6}$

Разделим каждый член $2 x = \frac{7 π}{6}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $2 x = \frac{7 π}{6}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Умножим $\frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $\frac{7 π}{6}$ на $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{7 π}{6 \cdot 2}$

Умножим $6$ на $2$ .

$x = \frac{7 π}{12}$

Step 6

Найдем период $\sin (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Заменим $b$ на $2$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2}$

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Step 7

Добавим $π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $π$ к $- \frac{π}{12}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{12} + π$

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{12}{12}$ .

$π \cdot \frac{12}{12} - \frac{π}{12}$

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим $π$ и $\frac{12}{12}$ .

$\frac{π \cdot 12}{12} - \frac{π}{12}$

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π \cdot 12 - π}{12}$

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перенесем $12$ влево от $π$ .

$\frac{12 \cdot π - π}{12}$

Вычтем $π$ из $12 π$ .

$\frac{11 π}{12}$

Перечислим новые углы.

$x = \frac{11 π}{12}$

Step 8

Период функции $\sin (2 x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{7 π}{12} + π n, \frac{11 π}{12} + π n$ , для любого целого $n$