Основы мат. анализа Примеры

sin (2 x) = - \frac{1}{2}

$\sin (2 x) = - \frac{1}{2}$

Step 1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь

x

$x$ из синуса.

2 x = arcsin (- \frac{1}{2})

$2 x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Step 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Точное значение

arcsin (- \frac{1}{2})

$\arcsin (- \frac{1}{2})$ :

- \frac{π}{6}

$- \frac{π}{6}$ .

2 x = - \frac{π}{6}

$2 x = - \frac{π}{6}$

2 x = - \frac{π}{6}

$2 x = - \frac{π}{6}$

Step 3

Разделим каждый член

2 x = - \frac{π}{6}

$2 x = - \frac{π}{6}$ на

2

$2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член

2 x = - \frac{π}{6}

$2 x = - \frac{π}{6}$ на

2

$2$ .

\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель

2

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Разделим

$x$ на

$1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = - \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Умножим

$- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим

$\frac{1}{2}$ на

$\frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{2 \cdot 6}$

Умножим

$2$ на

$6$ .

$x = - \frac{π}{12}$

Step 4

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из

$2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к

$π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$2 x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Step 5

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем

$2 π$ из

$2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$2 x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Результирующий угол

$\frac{7 π}{6}$ является положительным, меньшим

$2 π$ и отличается от

$2 π + \frac{π}{6} + π$ на полный оборот.

$2 x = \frac{7 π}{6}$

Разделим каждый член

$2 x = \frac{7 π}{6}$ на

$2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член

$2 x = \frac{7 π}{6}$ на

$2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Разделим

$x$ на

$1$ .

$x = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Умножим

$\frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим

$\frac{7 π}{6}$ на

$\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{7 π}{6 \cdot 2}$

Умножим

$6$ на

$2$ .

$x = \frac{7 π}{12}$

Step 6

Найдем период

$\sin (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Период функции можно вычислить по формуле

$\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Заменим

$b$ на

$2$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между

$0$ и

$2$ равно

$2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Сократим общий множитель

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2}$

Разделим

$π$ на

$1$ .

$π$

Step 7

Добавим

$π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим

$π$ к

$- \frac{π}{12}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{12} + π$

Чтобы записать

$π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

$\frac{12}{12}$ .

$π \cdot \frac{12}{12} - \frac{π}{12}$

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим

$π$ и

$\frac{12}{12}$ .

$\frac{π \cdot 12}{12} - \frac{π}{12}$

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π \cdot 12 - π}{12}$

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перенесем

$12$ влево от

$π$ .

$\frac{12 \cdot π - π}{12}$

Вычтем

$π$ из

$12 π$ .

$\frac{11 π}{12}$

Перечислим новые углы.

$x = \frac{11 π}{12}$

Step 8

Период функции

$\sin (2 x)$ равен

$π$ . Поэтому значения повторяются через каждые

$π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{7 π}{12} + π n, \frac{11 π}{12} + π n$ , для любого целого

$n$