Основы мат. анализа Примеры

\sqrt{4 - x^{2}}

$\sqrt{4 - x^{2}}$

Этап 1

Зададим подкоренное выражение в

\sqrt{4 - x^{2}}

$\sqrt{4 - x^{2}}$ большим или равным

0

$0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

4 - x^{2} \geq 0

$4 - x^{2} \geq 0$

Этап 2

Решим относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем

4

$4$ из обеих частей неравенства.

- x^{2} \geq - 4

$- x^{2} \geq - 4$

Этап 2.2

Разделим каждый член

- x^{2} \geq - 4

$- x^{2} \geq - 4$ на

- 1

$- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим каждый член

- x^{2} \geq - 4

$- x^{2} \geq - 4$ на

- 1

$- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 4}{- 1}

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 4}{- 1}

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Этап 2.2.2.2

Разделим

x^{2}

$x^{2}$ на

1

$1$ .

x^{2} \leq \frac{- 4}{- 1}

$x^{2} \leq \frac{- 4}{- 1}$

x^{2} \leq \frac{- 4}{- 1}

$x^{2} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Этап 2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Разделим

- 4

$- 4$ на

- 1

$- 1$ .

x^{2} \leq 4

$x^{2} \leq 4$

x^{2} \leq 4

$x^{2} \leq 4$

x^{2} \leq 4

$x^{2} \leq 4$

Этап 2.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{4}

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{4}$

Этап 2.4

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

| x | \leq \sqrt{4}

$| x | \leq \sqrt{4}$

| x | \leq \sqrt{4}

$| x | \leq \sqrt{4}$

Этап 2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Упростим

\sqrt{4}

$\sqrt{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Перепишем

4

$4$ в виде

2^{2}

$2^{2}$ .

| x | \leq \sqrt{2^{2}}

$| x | \leq \sqrt{2^{2}}$

Этап 2.4.2.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

| x | \leq | 2 |

$| x | \leq | 2 |$

Этап 2.4.2.1.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между

0

$0$ и

2

$2$ равно

2

$2$ .

| x | \leq 2

$| x | \leq 2$

| x | \leq 2

$| x | \leq 2$

| x | \leq 2

$| x | \leq 2$

| x | \leq 2

$| x | \leq 2$

Этап 2.5

Запишем

| x | \leq 2

$| x | \leq 2$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

x \geq 0

$x \geq 0$

Этап 2.5.2

В части, где

x

$x$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

x \leq 2

$x \leq 2$

Этап 2.5.3

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

x < 0

$x < 0$

Этап 2.5.4

В части, где

x

$x$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на

- 1

$- 1$ .

- x \leq 2

$- x \leq 2$

Этап 2.5.5

Запишем в виде кусочной функции.

{\begin{matrix} x \leq 2 & x \geq 0 - x \leq 2 & x < 0 \end{matrix}

${\begin{cases} x \leq 2 & x \geq 0 \\ - x \leq 2 & x < 0 \end{cases}$

{\begin{matrix} x \leq 2 & x \geq 0 - x \leq 2 & x < 0 \end{matrix}

${\begin{cases} x \leq 2 & x \geq 0 \\ - x \leq 2 & x < 0 \end{cases}$

Этап 2.6

Найдем пересечение

x \leq 2

$x \leq 2$ и

x \geq 0

$x \geq 0$ .

0 \leq x \leq 2

$0 \leq x \leq 2$

Этап 2.7

Решим

- x \leq 2

$- x \leq 2$ , когда

x < 0

$x < 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Разделим каждый член

- x \leq 2

$- x \leq 2$ на

- 1

$- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.1

Разделим каждый член

- x \leq 2

$- x \leq 2$ на

- 1

\frac{- x}{- 1} \geq \frac{2}{- 1}

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{2}{- 1}$

Этап 2.7.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

\frac{x}{1} \geq \frac{2}{- 1}

$\frac{x}{1} \geq \frac{2}{- 1}$

Этап 2.7.1.2.2

Разделим

x

$x$ на

1

$1$ .

x \geq \frac{2}{- 1}

$x \geq \frac{2}{- 1}$

x \geq \frac{2}{- 1}

$x \geq \frac{2}{- 1}$

Этап 2.7.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.3.1

Разделим

2

$2$ на

- 1

$- 1$ .

x \geq - 2

$x \geq - 2$

x \geq - 2

$x \geq - 2$

x \geq - 2

$x \geq - 2$

Этап 2.7.2

Найдем пересечение

x \geq - 2

$x \geq - 2$ и

x < 0

$x < 0$ .

- 2 \leq x < 0

$- 2 \leq x < 0$

- 2 \leq x < 0

$- 2 \leq x < 0$

Этап 2.8

Найдем объединение решений.

- 2 \leq x \leq 2

$- 2 \leq x \leq 2$

- 2 \leq x \leq 2

$- 2 \leq x \leq 2$

Этап 3

Область определения ― это все значения

x

$x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

[- 2, 2]

$[- 2, 2]$

Обозначение построения множества:

{x | - 2 \leq x \leq 2}

${x | - 2 \leq x \leq 2}$

Этап 4