Основы мат. анализа Примеры

$\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)} + \frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}$

Step 1

Чтобы записать $\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}$

Step 2

Чтобы записать $\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$

Step 3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(1 - \sin (x)) \cos (x)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$ на $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{(1 - \sin (x)) \cos (x)} + \frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$

Умножим $\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}$ на $\frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{(1 - \sin (x)) \cos (x)} + \frac{(1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Изменим порядок множителей в $(1 - \sin (x)) \cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))} + \frac{(1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Step 4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\cos (x) \cos (x) + (1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Step 5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $\cos (x) \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos (x) + (1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + (1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 1} + (1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + (1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Развернем $(1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 (1 - \sin (x)) - \sin (x) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) - \sin (x) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) (- \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 + 1 (- \sin (x)) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) (- \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Умножим $- \sin (x)$ на $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 - \sin (x) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) (- \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 - \sin (x) - \sin (x) - \sin (x) (- \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Умножим $- \sin (x) (- \sin (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 - \sin (x) - \sin (x) + 1 \sin (x) \sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 - \sin (x) - \sin (x) + \sin (x) \sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 - \sin (x) - \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 - \sin (x) - \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 - \sin (x) - \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 - \sin (x) - \sin (x) + \sin^{2} (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Вычтем $\sin (x)$ из $- \sin (x)$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 - 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Перепишем $\cos^{2} (x) + 1 - 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перегруппируем члены.

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) + 1 - 2 \sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Переставляем члены.

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + 1 - 2 \sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Применим формулу Пифагора.

$\frac{1 + 1 - 2 \sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 - 2 \sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Вынесем множитель $2$ из $2 - 2 \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (1) - 2 \sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Вынесем множитель $2$ из $- 2 \sin (x)$ .

$\frac{2 (1) + 2 (- \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Вынесем множитель $2$ из $2 (1) + 2 (- \sin (x))$ .

$\frac{2 (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Step 6

Сократим общий множитель $1 - \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{\cos (x)}$

Step 7

Разделим дроби.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Step 8

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$\frac{2}{1} \sec (x)$

Step 9

Разделим $2$ на $1$ .

$2 \sec (x)$