Основы мат. анализа Примеры

\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)} + \frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}

$\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)} + \frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}$

Step 1

Чтобы записать

\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}

$\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

\frac{\cos (x)}{\cos (x)}

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}

$\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}$

Step 2

Чтобы записать

\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}

$\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

\frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}

$\frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ .

\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}

$\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$

Step 3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем

(1 - \sin (x)) \cos (x)

$(1 - \sin (x)) \cos (x)$ , умножив на подходящий множитель

1

$1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим

\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}

$\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$ на

\frac{\cos (x)}{\cos (x)}

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

\frac{\cos (x) \cos (x)}{(1 - \sin (x)) \cos (x)} + \frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{(1 - \sin (x)) \cos (x)} + \frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$

Умножим

\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}

$\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}$ на

\frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}

$\frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ .

\frac{\cos (x) \cos (x)}{(1 - \sin (x)) \cos (x)} + \frac{(1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{(1 - \sin (x)) \cos (x)} + \frac{(1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Изменим порядок множителей в

(1 - \sin (x)) \cos (x)

$(1 - \sin (x)) \cos (x)$ .

\frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))} + \frac{(1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))} + \frac{(1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

\frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))} + \frac{(1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))} + \frac{(1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Step 4

Объединим числители над общим знаменателем.

\frac{\cos (x) \cos (x) + (1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}

$\frac{\cos (x) \cos (x) + (1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Step 5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим

\cos (x) \cos (x)

$\cos (x) \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем

\cos (x)

$\cos (x)$ в степень

1

$1$ .

\frac{\cos^{1} (x) \cos (x) + (1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}

$\frac{\cos^{1} (x) \cos (x) + (1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Возведем

\cos (x)

$\cos (x)$ в степень

1

$1$ .

\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + (1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}

$\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + (1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Применим правило степени

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

\frac{{\cos (x)}^{1 + 1} + (1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 1} + (1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Добавим

1

$1$ и

1

$1$ .

\frac{\cos^{2} (x) + (1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}

$\frac{\cos^{2} (x) + (1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

\frac{\cos^{2} (x) + (1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}

$\frac{\cos^{2} (x) + (1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Развернем

(1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))

$(1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим свойство дистрибутивности.

\frac{\cos^{2} (x) + 1 (1 - \sin (x)) - \sin (x) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 (1 - \sin (x)) - \sin (x) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Применим свойство дистрибутивности.

\frac{\cos^{2} (x) + 1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) - \sin (x) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) - \sin (x) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Применим свойство дистрибутивности.

\frac{\cos^{2} (x) + 1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) (- \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) (- \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

\frac{\cos^{2} (x) + 1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) (- \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) (- \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим

1

$1$ на

1

$1$ .

\frac{\cos^{2} (x) + 1 + 1 (- \sin (x)) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) (- \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 + 1 (- \sin (x)) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) (- \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Умножим

- \sin (x)

$- \sin (x)$ на

1

$1$ .

\frac{\cos^{2} (x) + 1 - \sin (x) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) (- \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 - \sin (x) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) (- \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Умножим

- 1

$- 1$ на

1

$1$ .

\frac{\cos^{2} (x) + 1 - \sin (x) - \sin (x) - \sin (x) (- \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 - \sin (x) - \sin (x) - \sin (x) (- \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Умножим

- \sin (x) (- \sin (x))

$- \sin (x) (- \sin (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим

- 1

$- 1$ на

- 1

$- 1$ .

\frac{\cos^{2} (x) + 1 - \sin (x) - \sin (x) + 1 \sin (x) \sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 - \sin (x) - \sin (x) + 1 \sin (x) \sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Умножим

\sin (x)

$\sin (x)$ на

1

$1$ .

\frac{\cos^{2} (x) + 1 - \sin (x) - \sin (x) + \sin (x) \sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 - \sin (x) - \sin (x) + \sin (x) \sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Возведем

\sin (x)

$\sin (x)$ в степень

1

$1$ .

\frac{\cos^{2} (x) + 1 - \sin (x) - \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 - \sin (x) - \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Возведем

\sin (x)

$\sin (x)$ в степень

1

$1$ .

\frac{\cos^{2} (x) + 1 - \sin (x) - \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 - \sin (x) - \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Применим правило степени

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

\frac{\cos^{2} (x) + 1 - \sin (x) - \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) (1 - \sin (x))}

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 - \sin (x) - \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Добавим

1

$1$ и

1

$1$ .

\frac{\cos^{2} (x) + 1 - \sin (x) - \sin (x) + \sin^{2} (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 - \sin (x) - \sin (x) + \sin^{2} (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

\frac{\cos^{2} (x) + 1 - \sin (x) - \sin (x) + \sin^{2} (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 - \sin (x) - \sin (x) + \sin^{2} (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

\frac{\cos^{2} (x) + 1 - \sin (x) - \sin (x) + \sin^{2} (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 - \sin (x) - \sin (x) + \sin^{2} (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Вычтем

\sin (x)

$\sin (x)$ из

- \sin (x)

$- \sin (x)$ .

\frac{\cos^{2} (x) + 1 - 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 - 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

\frac{\cos^{2} (x) + 1 - 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 - 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Перепишем

\cos^{2} (x) + 1 - 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)

$\cos^{2} (x) + 1 - 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перегруппируем члены.

\frac{\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) + 1 - 2 \sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) + 1 - 2 \sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Переставляем члены.

\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + 1 - 2 \sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + 1 - 2 \sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Применим формулу Пифагора.

\frac{1 + 1 - 2 \sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}

$\frac{1 + 1 - 2 \sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Добавим

1

$1$ и

1

$1$ .

\frac{2 - 2 \sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}

$\frac{2 - 2 \sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Вынесем множитель

2

$2$ из

2 - 2 \sin (x)

$2 - 2 \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель

2

$2$ из

2

$2$ .

\frac{2 (1) - 2 \sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}

$\frac{2 (1) - 2 \sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Вынесем множитель

2

$2$ из

- 2 \sin (x)

$- 2 \sin (x)$ .

\frac{2 (1) + 2 (- \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}

$\frac{2 (1) + 2 (- \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Вынесем множитель

2

$2$ из

2 (1) + 2 (- \sin (x))

$2 (1) + 2 (- \sin (x))$ .

\frac{2 (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}

$\frac{2 (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

\frac{2 (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}

$\frac{2 (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

\frac{2 (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}

$\frac{2 (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

\frac{2 (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}

$\frac{2 (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Step 6

Сократим общий множитель

1 - \sin (x)

$1 - \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

\frac{2 (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}

$\frac{2 (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Перепишем это выражение.

\frac{2}{\cos (x)}

$\frac{2}{\cos (x)}$

\frac{2}{\cos (x)}

$\frac{2}{\cos (x)}$

Step 7

Разделим дроби.

\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Step 8

Переведем

\frac{1}{\cos (x)}

$\frac{1}{\cos (x)}$ в

\sec (x)

$\sec (x)$ .

\frac{2}{1} \sec (x)

$\frac{2}{1} \sec (x)$

Step 9

Разделим

2

$2$ на

1

$1$ .

2 \sec (x)

$2 \sec (x)$