Основы мат. анализа Примеры

$\sqrt{x + 4} + \sqrt{x - 1} = 5$

Этап 1

Вычтем $\sqrt{x - 1}$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt{x + 4} = 5 - \sqrt{x - 1}$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{x + 4}}^{2} = {(5 - \sqrt{x - 1})}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 4}$ в виде ${(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(5 - \sqrt{x - 1})}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${({(x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(5 - \sqrt{x - 1})}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(x + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(5 - \sqrt{x - 1})}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(x + 4)}^{1} = {(5 - \sqrt{x - 1})}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Упростим.

$x + 4 = {(5 - \sqrt{x - 1})}^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим ${(5 - \sqrt{x - 1})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем ${(5 - \sqrt{x - 1})}^{2}$ в виде $(5 - \sqrt{x - 1}) (5 - \sqrt{x - 1})$ .

$x + 4 = (5 - \sqrt{x - 1}) (5 - \sqrt{x - 1})$

Этап 3.3.1.2

Развернем $(5 - \sqrt{x - 1}) (5 - \sqrt{x - 1})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 4 = 5 (5 - \sqrt{x - 1}) - \sqrt{x - 1} (5 - \sqrt{x - 1})$

Этап 3.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 4 = 5 \cdot 5 + 5 (- \sqrt{x - 1}) - \sqrt{x - 1} (5 - \sqrt{x - 1})$

Этап 3.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 4 = 5 \cdot 5 + 5 (- \sqrt{x - 1}) - \sqrt{x - 1} \cdot 5 - \sqrt{x - 1} (- \sqrt{x - 1})$

Этап 3.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.1

Умножим $5$ на $5$ .

$x + 4 = 25 + 5 (- \sqrt{x - 1}) - \sqrt{x - 1} \cdot 5 - \sqrt{x - 1} (- \sqrt{x - 1})$

Этап 3.3.1.3.1.2

Умножим $- 1$ на $5$ .

$x + 4 = 25 - 5 \sqrt{x - 1} - \sqrt{x - 1} \cdot 5 - \sqrt{x - 1} (- \sqrt{x - 1})$

Этап 3.3.1.3.1.3

Умножим $5$ на $- 1$ .

$x + 4 = 25 - 5 \sqrt{x - 1} - 5 \sqrt{x - 1} - \sqrt{x - 1} (- \sqrt{x - 1})$

Этап 3.3.1.3.1.4

Умножим $- \sqrt{x - 1} (- \sqrt{x - 1})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x + 4 = 25 - 5 \sqrt{x - 1} - 5 \sqrt{x - 1} + 1 \sqrt{x - 1} \sqrt{x - 1}$

Этап 3.3.1.3.1.4.2

Умножим $\sqrt{x - 1}$ на $1$ .

$x + 4 = 25 - 5 \sqrt{x - 1} - 5 \sqrt{x - 1} + \sqrt{x - 1} \sqrt{x - 1}$

Этап 3.3.1.3.1.4.3

Возведем $\sqrt{x - 1}$ в степень $1$ .

$x + 4 = 25 - 5 \sqrt{x - 1} - 5 \sqrt{x - 1} + {\sqrt{x - 1}}^{1} \sqrt{x - 1}$

Этап 3.3.1.3.1.4.4

Возведем $\sqrt{x - 1}$ в степень $1$ .

$x + 4 = 25 - 5 \sqrt{x - 1} - 5 \sqrt{x - 1} + {\sqrt{x - 1}}^{1} {\sqrt{x - 1}}^{1}$

Этап 3.3.1.3.1.4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x + 4 = 25 - 5 \sqrt{x - 1} - 5 \sqrt{x - 1} + {\sqrt{x - 1}}^{1 + 1}$

Этап 3.3.1.3.1.4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$x + 4 = 25 - 5 \sqrt{x - 1} - 5 \sqrt{x - 1} + {\sqrt{x - 1}}^{2}$

Этап 3.3.1.3.1.5

Перепишем ${\sqrt{x - 1}}^{2}$ в виде $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x - 1}$ в виде ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x + 4 = 25 - 5 \sqrt{x - 1} - 5 \sqrt{x - 1} + {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 3.3.1.3.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x + 4 = 25 - 5 \sqrt{x - 1} - 5 \sqrt{x - 1} + {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 3.3.1.3.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x + 4 = 25 - 5 \sqrt{x - 1} - 5 \sqrt{x - 1} + {(x - 1)}^{\frac{2}{2}}$

Этап 3.3.1.3.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$x + 4 = 25 - 5 \sqrt{x - 1} - 5 \sqrt{x - 1} + {(x - 1)}^{\frac{2}{2}}$

Этап 3.3.1.3.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$x + 4 = 25 - 5 \sqrt{x - 1} - 5 \sqrt{x - 1} + {(x - 1)}^{1}$

Этап 3.3.1.3.1.5.5

Упростим.

$x + 4 = 25 - 5 \sqrt{x - 1} - 5 \sqrt{x - 1} + x - 1$

Этап 3.3.1.3.2

Вычтем $1$ из $25$ .

$x + 4 = 24 - 5 \sqrt{x - 1} - 5 \sqrt{x - 1} + x$

Этап 3.3.1.3.3

Вычтем $5 \sqrt{x - 1}$ из $- 5 \sqrt{x - 1}$ .

$x + 4 = 24 - 10 \sqrt{x - 1} + x$

Этап 4

Решим относительно $- 10 \sqrt{x - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $24 - 10 \sqrt{x - 1} + x = x + 4$ .

$24 - 10 \sqrt{x - 1} + x = x + 4$

Этап 4.2

Перенесем все члены без $- 10 \sqrt{x - 1}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $24$ из обеих частей уравнения.

$- 10 \sqrt{x - 1} + x = x + 4 - 24$

Этап 4.2.2

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$- 10 \sqrt{x - 1} = x + 4 - 24 - x$

Этап 4.2.3

Объединим противоположные члены в $x + 4 - 24 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Вычтем $x$ из $x$ .

$- 10 \sqrt{x - 1} = 0 + 4 - 24$

Этап 4.2.3.2

Добавим $0$ и $4$ .

$- 10 \sqrt{x - 1} = 4 - 24$

Этап 4.2.4

Вычтем $24$ из $4$ .

$- 10 \sqrt{x - 1} = - 20$

Этап 5

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(- 10 \sqrt{x - 1})}^{2} = {(- 20)}^{2}$

Этап 6

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x - 1}$ в виде ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 10 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 20)}^{2}$

Этап 6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим ${(- 10 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Применим правило умножения к $- 10 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 10)}^{2} {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 20)}^{2}$

Этап 6.2.1.2

Возведем $- 10$ в степень $2$ .

$100 {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 20)}^{2}$

Этап 6.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$100 {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 20)}^{2}$

Этап 6.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$100 {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 20)}^{2}$

Этап 6.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$100 {(x - 1)}^{1} = {(- 20)}^{2}$

Этап 6.2.1.4

Упростим.

$100 (x - 1) = {(- 20)}^{2}$

Этап 6.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$100 x + 100 \cdot - 1 = {(- 20)}^{2}$

Этап 6.2.1.6

Умножим $100$ на $- 1$ .

$100 x - 100 = {(- 20)}^{2}$

Этап 6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Возведем $- 20$ в степень $2$ .

$100 x - 100 = 400$

Этап 7

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Добавим $100$ к обеим частям уравнения.

$100 x = 400 + 100$

Этап 7.1.2

Добавим $400$ и $100$ .

$100 x = 500$

Этап 7.2

Разделим каждый член $100 x = 500$ на $100$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Разделим каждый член $100 x = 500$ на $100$ .

$\frac{100 x}{100} = \frac{500}{100}$

Этап 7.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Сократим общий множитель $100$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{100 x}{100} = \frac{500}{100}$

Этап 7.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{500}{100}$

Этап 7.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Разделим $500$ на $100$ .

$x = 5$