Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = - \log_{3} (x - 1) + 3$

Step 1

Найдем асимптоты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем, где выражение $- \log_{3} (x - 1) + 3$ не определено.

$x \leq 1$

Поскольку $- \log_{3} (x - 1) + 3$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $1$ слева, а $- \log_{3} (x - 1) + 3$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $1$ справа, то $x = 1$ — вертикальная асимптота.

$x = 1$

Игнорируя логарифм, рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Горизонтальные асимптоты отсутствуют, поскольку $Q (x)$ равно $1$ .

Нет горизонтальных асимптот

У логарифмических и тригонометрических функций нет наклонных асимптот.

Нет наклонных асимптот

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = 1$

Нет горизонтальных асимптот

Вертикальные асимптоты: $x = 1$

Нет горизонтальных асимптот

Step 2

Найдем точку в $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = - \log_{3} ((2) - 1) + 3$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $1$ из $2$ .

$f (2) = - \log_{3} (1) + 3$

Логарифм $1$ по основанию $3$ равен $0$ .

$f (2) = - 0 + 3$

Умножим $- 1$ на $0$ .

$f (2) = 0 + 3$

Добавим $0$ и $3$ .

$f (2) = 3$

Окончательный ответ: $3$ .

$3$

Преобразуем $3$ в десятичное представление.

$y = 3$

Step 3

Найдем точку в $x = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f (4) = - \log_{3} ((4) - 1) + 3$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $1$ из $4$ .

$f (4) = - \log_{3} (3) + 3$

Логарифм $3$ по основанию $3$ равен $1$ .

$f (4) = - 1 \cdot 1 + 3$

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (4) = - 1 + 3$

Добавим $- 1$ и $3$ .

$f (4) = 2$

Окончательный ответ: $2$ .

$2$

Преобразуем $2$ в десятичное представление.

$y = 2$

Step 4

Найдем точку в $x = 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $10$ .

$f (10) = - \log_{3} ((10) - 1) + 3$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $1$ из $10$ .

$f (10) = - \log_{3} (9) + 3$

Логарифм $9$ по основанию $3$ равен $2$ .

$f (10) = - 1 \cdot 2 + 3$

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f (10) = - 2 + 3$

Добавим $- 2$ и $3$ .

$f (10) = 1$

Окончательный ответ: $1$ .

$1$

Преобразуем $1$ в десятичное представление.

$y = 1$

Step 5

График логарифмической функции можно построить с помощью вертикальной асимптоты в точке $x = 1$ и точек $(2, 3), (4, 2), (10, 1)$ .

Вертикальная асимптота: $x = 1$

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & 3 \\ 4 & 2 \\ 10 & 1 \end{array}$

Step 6