Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = - \ln (x - 1) + 3$

Step 1

Найдем асимптоты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем, где выражение $- \ln (x - 1) + 3$ не определено.

$x \leq 1$

Поскольку $- \ln (x - 1) + 3$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $1$ слева, а $- \ln (x - 1) + 3$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $1$ справа, то $x = 1$ — вертикальная асимптота.

$x = 1$

Игнорируя логарифм, рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Горизонтальные асимптоты отсутствуют, поскольку $Q (x)$ равно $1$ .

Нет горизонтальных асимптот

У логарифмических и тригонометрических функций нет наклонных асимптот.

Нет наклонных асимптот

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = 1$

Нет горизонтальных асимптот

Вертикальные асимптоты: $x = 1$

Нет горизонтальных асимптот

Step 2

Найдем точку в $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = - \ln ((2) - 1) + 3$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $1$ из $2$ .

$f (2) = - \ln (1) + 3$

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$f (2) = - 0 + 3$

Умножим $- 1$ на $0$ .

$f (2) = 0 + 3$

Добавим $0$ и $3$ .

$f (2) = 3$

Окончательный ответ: $3$ .

$3$

Преобразуем $3$ в десятичное представление.

$y = 3$

Step 3

Найдем точку в $x = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f (3) = - \ln ((3) - 1) + 3$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $1$ из $3$ .

$f (3) = - \ln (2) + 3$

Окончательный ответ: $- \ln (2) + 3$ .

$- \ln (2) + 3$

Преобразуем $- \ln (2) + 3$ в десятичное представление.

$y = 2.30685281$

Step 4

Найдем точку в $x = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f (4) = - \ln ((4) - 1) + 3$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $1$ из $4$ .

$f (4) = - \ln (3) + 3$

Окончательный ответ: $- \ln (3) + 3$ .

$- \ln (3) + 3$

Преобразуем $- \ln (3) + 3$ в десятичное представление.

$y = 1.90138771$

Step 5

График логарифмической функции можно построить с помощью вертикальной асимптоты в точке $x = 1$ и точек $(2, 3), (3, 2.30685281), (4, 1.90138771)$ .

Вертикальная асимптота: $x = 1$

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & 3 \\ 3 & 2.307 \\ 4 & 1.901 \end{array}$

Step 6