Основы мат. анализа Примеры

$\tan (285)$

Step 1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как тангенс отрицательный в четвертом квадранте.

$- \tan (75)$

Step 2

Разделим $75$ на два угла, для которых известны значения шести тригонометрических функций.

$- \tan (30 + 45)$

Step 3

Применим формулу для суммы углов.

$- \frac{\tan (30) + \tan (45)}{1 - \tan (30) \tan (45)}$

Step 4

Точное значение $\tan (30)$ : $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \tan (45)}{1 - \tan (30) \tan (45)}$

Step 5

Точное значение $\tan (45)$ : $1$ .

$- \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \tan (30) \tan (45)}$

Step 6

Точное значение $\tan (30)$ : $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \tan (45)}$

Step 7

Точное значение $\tan (45)$ : $1$ .

$- \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$

Step 8

Упростим $- \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим числитель и знаменатель сложной дроби на $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1})$

Объединим.

$- \frac{3 (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1)}{3 (1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{3 \frac{\sqrt{3}}{3} + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$- \frac{3 \frac{\sqrt{3}}{3} + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Перепишем это выражение.

$- \frac{\sqrt{3} + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Умножим $3$ на $1$ .

$- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $3$ на $1$ .

$- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ в числитель.

$- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}$

Сократим общий множитель.

$- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}$

Перепишем это выражение.

$- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}}$

Умножим $\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}}$ на $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

$- (\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}} \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}})$

Умножим $\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}}$ на $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

$- \frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{(3 - \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}$

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$- \frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Упростим.

$- \frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{6}$

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Изменим порядок членов.

$- \frac{(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{6}$

Возведем $3 + \sqrt{3}$ в степень $1$ .

$- \frac{{(3 + \sqrt{3})}^{1} (3 + \sqrt{3})}{6}$

Возведем $3 + \sqrt{3}$ в степень $1$ .

$- \frac{{(3 + \sqrt{3})}^{1} {(3 + \sqrt{3})}^{1}}{6}$

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{{(3 + \sqrt{3})}^{1 + 1}}{6}$

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{{(3 + \sqrt{3})}^{2}}{6}$

Перепишем ${(3 + \sqrt{3})}^{2}$ в виде $(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})$ .

$- \frac{(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{6}$

Развернем $(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{3 (3 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6}$

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6}$

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $3$ на $3$ .

$- \frac{9 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Перенесем $3$ влево от $\sqrt{3}$ .

$- \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$- \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{6}$

Умножим $3$ на $3$ .

$- \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{9}}{6}$

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$- \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{6}$

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$- \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 3}{6}$

Добавим $9$ и $3$ .

$- \frac{12 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}}{6}$

Добавим $3 \sqrt{3}$ и $3 \sqrt{3}$ .

$- \frac{12 + 6 \sqrt{3}}{6}$

Сократим общий множитель $12 + 6 \sqrt{3}$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $6$ из $12$ .

$- \frac{6 \cdot 2 + 6 \sqrt{3}}{6}$

Вынесем множитель $6$ из $6 \sqrt{3}$ .

$- \frac{6 \cdot 2 + 6 (\sqrt{3})}{6}$

Вынесем множитель $6$ из $6 (2) + 6 (\sqrt{3})$ .

$- \frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6}$

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $6$ из $6$ .

$- \frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6 (1)}$

Сократим общий множитель.

$- \frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6 \cdot 1}$

Перепишем это выражение.

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{1}$

Разделим $2 + \sqrt{3}$ на $1$ .

$- (2 + \sqrt{3})$

Применим свойство дистрибутивности.

$- 1 \cdot 2 - \sqrt{3}$

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 - \sqrt{3}$

Step 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- 2 - \sqrt{3}$

Десятичная форма:

$- 3.73205080 \dots$