Основы мат. анализа Примеры

x^{4} - 4 x^{3} - x^{2} + 4 x = 0

$x^{4} - 4 x^{3} - x^{2} + 4 x = 0$

Step 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель

x

$x$ из

x^{4} - 4 x^{3} - x^{2} + 4 x

$x^{4} - 4 x^{3} - x^{2} + 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель

x

$x$ из

x^{4}

$x^{4}$ .

x \cdot x^{3} - 4 x^{3} - x^{2} + 4 x = 0

$x \cdot x^{3} - 4 x^{3} - x^{2} + 4 x = 0$

Вынесем множитель

x

$x$ из

- 4 x^{3}

$- 4 x^{3}$ .

x \cdot x^{3} + x (- 4 x^{2}) - x^{2} + 4 x = 0

$x \cdot x^{3} + x (- 4 x^{2}) - x^{2} + 4 x = 0$

Вынесем множитель

x

$x$ из

- x^{2}

$- x^{2}$ .

x \cdot x^{3} + x (- 4 x^{2}) + x (- x) + 4 x = 0

$x \cdot x^{3} + x (- 4 x^{2}) + x (- x) + 4 x = 0$

Вынесем множитель

x

$x$ из

4 x

$4 x$ .

x \cdot x^{3} + x (- 4 x^{2}) + x (- x) + x \cdot 4 = 0

$x \cdot x^{3} + x (- 4 x^{2}) + x (- x) + x \cdot 4 = 0$

Вынесем множитель

x

$x$ из

x \cdot x^{3} + x (- 4 x^{2})

$x \cdot x^{3} + x (- 4 x^{2})$ .

x (x^{3} - 4 x^{2}) + x (- x) + x \cdot 4 = 0

$x (x^{3} - 4 x^{2}) + x (- x) + x \cdot 4 = 0$

Вынесем множитель

x

$x$ из

x (x^{3} - 4 x^{2}) + x (- x)

$x (x^{3} - 4 x^{2}) + x (- x)$ .

x (x^{3} - 4 x^{2} - x) + x \cdot 4 = 0

$x (x^{3} - 4 x^{2} - x) + x \cdot 4 = 0$

Вынесем множитель

x

$x$ из

x (x^{3} - 4 x^{2} - x) + x \cdot 4

$x (x^{3} - 4 x^{2} - x) + x \cdot 4$ .

x (x^{3} - 4 x^{2} - x + 4) = 0

$x (x^{3} - 4 x^{2} - x + 4) = 0$

x (x^{3} - 4 x^{2} - x + 4) = 0

$x (x^{3} - 4 x^{2} - x + 4) = 0$

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

x ((x^{3} - 4 x^{2}) - x + 4) = 0

$x ((x^{3} - 4 x^{2}) - x + 4) = 0$

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

x (x^{2} (x - 4) - (x - 4)) = 0

$x (x^{2} (x - 4) - (x - 4)) = 0$

x (x^{2} (x - 4) - (x - 4)) = 0

$x (x^{2} (x - 4) - (x - 4)) = 0$

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель

x - 4

$x - 4$ .

x ((x - 4) (x^{2} - 1)) = 0

$x ((x - 4) (x^{2} - 1)) = 0$

Перепишем

1

$1$ в виде

1^{2}

$1^{2}$ .

x ((x - 4) (x^{2} - 1^{2})) = 0

$x ((x - 4) (x^{2} - 1^{2})) = 0$

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов,

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где

a = x

$a = x$ и

b = 1

$b = 1$ .

x ((x - 4) ((x + 1) (x - 1))) = 0

$x ((x - 4) ((x + 1) (x - 1))) = 0$

Избавимся от ненужных скобок.

x ((x - 4) (x + 1) (x - 1)) = 0

$x ((x - 4) (x + 1) (x - 1)) = 0$

x ((x - 4) (x + 1) (x - 1)) = 0

$x ((x - 4) (x + 1) (x - 1)) = 0$

Избавимся от ненужных скобок.

x (x - 4) (x + 1) (x - 1) = 0

$x (x - 4) (x + 1) (x - 1) = 0$

x (x - 4) (x + 1) (x - 1) = 0

$x (x - 4) (x + 1) (x - 1) = 0$

x (x - 4) (x + 1) (x - 1) = 0

$x (x - 4) (x + 1) (x - 1) = 0$

Step 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен

0

$0$ , все выражение равно

0

$0$ .

x = 0

$x = 0$

x - 4 = 0

$x - 4 = 0$

x + 1 = 0

$x + 1 = 0$

x - 1 = 0

$x - 1 = 0$

Step 3

Приравняем

x

$x$ к

0

$0$ .

x = 0

$x = 0$

Step 4

Приравняем

x - 4

$x - 4$ к

0

$0$ , затем решим относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Приравняем

x - 4

$x - 4$ к

0

$0$ .

x - 4 = 0

$x - 4 = 0$

Добавим

4

$4$ к обеим частям уравнения.

x = 4

$x = 4$

x = 4

$x = 4$

Step 5

Приравняем

x + 1

$x + 1$ к

0

$0$ , затем решим относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Приравняем

x + 1

$x + 1$ к

0

$0$ .

x + 1 = 0

$x + 1 = 0$

Вычтем

1

$1$ из обеих частей уравнения.

x = - 1

$x = - 1$

x = - 1

$x = - 1$

Step 6

Приравняем

x - 1

$x - 1$ к

0

$0$ , затем решим относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Приравняем

x - 1

$x - 1$ к

0

$0$ .

x - 1 = 0

$x - 1 = 0$

Добавим

1

$1$ к обеим частям уравнения.

x = 1

$x = 1$

x = 1

$x = 1$

Step 7

Окончательным решением являются все значения, при которых

x (x - 4) (x + 1) (x - 1) = 0

$x (x - 4) (x + 1) (x - 1) = 0$ верно.

x = 0, 4, - 1, 1

$x = 0, 4, - 1, 1$