Основы мат. анализа Примеры

$\ln (\frac{x^{4} {(x - 4)}^{2}}{\sqrt{x^{2} + 1}})$

Step 1

Перепишем $\ln (\frac{x^{4} {(x - 4)}^{2}}{\sqrt{x^{2} + 1}})$ в виде $\ln (x^{4} {(x - 4)}^{2}) - \ln (\sqrt{x^{2} + 1})$ .

$\ln (x^{4} {(x - 4)}^{2}) - \ln (\sqrt{x^{2} + 1})$

Step 2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{2} + 1}$ в виде ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (x^{4} {(x - 4)}^{2}) - \ln ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Step 3

Развернем $\ln ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})$ , вынося $\frac{1}{2}$ из логарифма.

$\ln (x^{4} {(x - 4)}^{2}) - (\frac{1}{2} \ln (x^{2} + 1))$

Step 4

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\ln (x^{2} + 1)$ .

$\ln (x^{4} {(x - 4)}^{2}) - \frac{\ln (x^{2} + 1)}{2}$

Step 5

Перепишем $\ln (x^{4} {(x - 4)}^{2})$ в виде $\ln (x^{4}) + \ln ({(x - 4)}^{2})$ .

$\ln (x^{4}) + \ln ({(x - 4)}^{2}) - \frac{\ln (x^{2} + 1)}{2}$

Step 6

Развернем $\ln (x^{4})$ , вынося $4$ из логарифма.

$4 \ln (x) + \ln ({(x - 4)}^{2}) - \frac{\ln (x^{2} + 1)}{2}$

Step 7

Развернем $\ln ({(x - 4)}^{2})$ , вынося $2$ из логарифма.

$4 \ln (x) + 2 \ln (x - 4) - \frac{\ln (x^{2} + 1)}{2}$

Step 8

Чтобы записать $4 \ln (x)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 \ln (x - 4) + 4 \ln (x) \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (x^{2} + 1)}{2}$

Step 9

Объединим $4 \ln (x)$ и $\frac{2}{2}$ .

$2 \ln (x - 4) + \frac{4 \ln (x) \cdot 2}{2} - \frac{\ln (x^{2} + 1)}{2}$

Step 10

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 \ln (x - 4) + \frac{4 \ln (x) \cdot 2 - \ln (x^{2} + 1)}{2}$

Step 11

Умножим $2$ на $4$ .

$2 \ln (x - 4) + \frac{8 \ln (x) - \ln (x^{2} + 1)}{2}$

Step 12

Чтобы записать $2 \ln (x - 4)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 \ln (x - 4) \cdot \frac{2}{2} + \frac{8 \ln (x) - \ln (x^{2} + 1)}{2}$

Step 13

Объединим $2 \ln (x - 4)$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \ln (x - 4) \cdot 2}{2} + \frac{8 \ln (x) - \ln (x^{2} + 1)}{2}$

Step 14

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 \ln (x - 4) \cdot 2 + 8 \ln (x) - \ln (x^{2} + 1)}{2}$

Step 15

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4 \ln (x - 4) + 8 \ln (x) - \ln (x^{2} + 1)}{2}$