Основы мат. анализа Примеры

2 \cos (x) - 1 = 0

$2 \cos (x) - 1 = 0$

Step 1

Добавим

1

$1$ к обеим частям уравнения.

2 \cos (x) = 1

$2 \cos (x) = 1$

Step 2

Разделим каждый член

2 \cos (x) = 1

$2 \cos (x) = 1$ на

2

$2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член

2 \cos (x) = 1

$2 \cos (x) = 1$ на

2

$2$ .

\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель

2

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Разделим

\cos (x)

$\cos (x)$ на

1

$1$ .

\cos (x) = \frac{1}{2}

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

\cos (x) = \frac{1}{2}

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

\cos (x) = \frac{1}{2}

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

\cos (x) = \frac{1}{2}

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

Step 3

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь

x

$x$ из косинуса.

x = \arccos (\frac{1}{2})

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Step 4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Точное значение

\arccos (\frac{1}{2})

$\arccos (\frac{1}{2})$ :

\frac{π}{3}

$\frac{π}{3}$ .

x = \frac{π}{3}

$x = \frac{π}{3}$

x = \frac{π}{3}

$x = \frac{π}{3}$

Step 5

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из

2 π

$2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

x = 2 π - \frac{π}{3}

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Step 6

Упростим

2 π - \frac{π}{3}

$2 π - \frac{π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы записать

2 π

$2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

\frac{3}{3}

$\frac{3}{3}$ .

x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим

2 π

$2 π$ и

\frac{3}{3}

$\frac{3}{3}$ .

x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Объединим числители над общим знаменателем.

x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим

3

$3$ на

2

$2$ .

x = \frac{6 π - π}{3}

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Вычтем

π

$π$ из

6 π

$6 π$ .

x = \frac{5 π}{3}

$x = \frac{5 π}{3}$

x = \frac{5 π}{3}

$x = \frac{5 π}{3}$

x = \frac{5 π}{3}

$x = \frac{5 π}{3}$

Step 7

Найдем период

\cos (x)

$\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Период функции можно вычислить по формуле

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ .

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Заменим

b

$b$ на

1

$1$ в формуле периода.

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между

0

$0$ и

1

$1$ равно

1

$1$ .

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

Разделим

2 π

$2 π$ на

1

$1$ .

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

Step 8

Период функции

\cos (x)

$\cos (x)$ равен

2 π

$2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые

2 π

$2 π$ рад. в обоих направлениях.

x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого

n

$n$