Основы мат. анализа Примеры

\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Step 1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь

x

$x$ из косинуса.

x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})

$x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Step 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Точное значение

\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})

$\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ :

\frac{π}{4}

$\frac{π}{4}$ .

x = \frac{π}{4}

$x = \frac{π}{4}$

x = \frac{π}{4}

$x = \frac{π}{4}$

Step 3

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из

2 π

$2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

x = 2 π - \frac{π}{4}

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

Step 4

Упростим

2 π - \frac{π}{4}

$2 π - \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы записать

2 π

$2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ .

x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим

2 π

$2 π$ и

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ .

x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Объединим числители над общим знаменателем.

x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим

4

$4$ на

2

$2$ .

x = \frac{8 π - π}{4}

$x = \frac{8 π - π}{4}$

Вычтем

π

$π$ из

8 π

$8 π$ .

x = \frac{7 π}{4}

$x = \frac{7 π}{4}$

x = \frac{7 π}{4}

$x = \frac{7 π}{4}$

x = \frac{7 π}{4}

$x = \frac{7 π}{4}$

Step 5

Найдем период

\cos (x)

$\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Период функции можно вычислить по формуле

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ .

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Заменим

b

$b$ на

1

$1$ в формуле периода.

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между

0

$0$ и

1

$1$ равно

1

$1$ .

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

Разделим

2 π

$2 π$ на

1

$1$ .

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

Step 6

Период функции

\cos (x)

$\cos (x)$ равен

2 π

$2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые

2 π

$2 π$ рад. в обоих направлениях.

x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , для любого целого

n

$n$