Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 3 x^{2} - x^{3}$ , $(- 1, 4)$

Этап 1

Запишем $f (x) = 3 x^{2} - x^{3}$ в виде уравнения.

$y = 3 x^{2} - x^{3}$

Этап 2

Подставим, используя формулу средней скорости изменения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Среднюю скорость изменения функции можно найти, вычислив разность значений $y$ в двух точках и поделив на разность значений $x$ этих двух точек.

$\frac{f (4) - f (- 1)}{(4) - (- 1)}$

Этап 2.2

Подставим уравнение $y = 3 x^{2} - x^{3}$ в $f (4)$ и $f (- 1)$ , заменив $x$ в функции соответствующим значением $x$ .

$\frac{(3 {(4)}^{2} - {(4)}^{3}) - (3 {(- 1)}^{2} - {(- 1)}^{3})}{(4) - (- 1)}$

Этап 3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{3 \cdot 16 - 4^{3} - (3 {(- 1)}^{2} - {(- 1)}^{3})}{4 - (- 1)}$

Этап 3.1.2

Умножим $3$ на $16$ .

$\frac{48 - 4^{3} - (3 {(- 1)}^{2} - {(- 1)}^{3})}{4 - (- 1)}$

Этап 3.1.3

Возведем $4$ в степень $3$ .

$\frac{48 - 1 \cdot 64 - (3 {(- 1)}^{2} - {(- 1)}^{3})}{4 - (- 1)}$

Этап 3.1.4

Умножим $- 1$ на $64$ .

$\frac{48 - 64 - (3 {(- 1)}^{2} - {(- 1)}^{3})}{4 - (- 1)}$

Этап 3.1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{48 - 64 - (3 \cdot 1 - {(- 1)}^{3})}{4 - (- 1)}$

Этап 3.1.5.2

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{48 - 64 - (3 - {(- 1)}^{3})}{4 - (- 1)}$

Этап 3.1.5.3

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.3.1

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.3.1.1

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

$\frac{48 - 64 - (3 + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{3})}{4 - (- 1)}$

Этап 3.1.5.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{48 - 64 - (3 + {(- 1)}^{1 + 3})}{4 - (- 1)}$

Этап 3.1.5.3.2

Добавим $1$ и $3$ .

$\frac{48 - 64 - (3 + {(- 1)}^{4})}{4 - (- 1)}$

Этап 3.1.5.4

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$\frac{48 - 64 - (3 + 1)}{4 - (- 1)}$

Этап 3.1.6

Добавим $3$ и $1$ .

$\frac{48 - 64 - 1 \cdot 4}{4 - (- 1)}$

Этап 3.1.7

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{48 - 64 - 4}{4 - (- 1)}$

Этап 3.1.8

Вычтем $64$ из $48$ .

$\frac{- 16 - 4}{4 - (- 1)}$

Этап 3.1.9

Вычтем $4$ из $- 16$ .

$\frac{- 20}{4 - (- 1)}$

Этап 3.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{- 20}{4 + 1}$

Этап 3.2.2

Добавим $4$ и $1$ .

$\frac{- 20}{5}$

Этап 3.3

Разделим $- 20$ на $5$ .

$- 4$