Основы мат. анализа Примеры

$12 + 2 e^{- 2 x}$

Этап 1

Запишем $12 + 2 e^{- 2 x}$ в виде функции.

$f (x) = 12 + 2 e^{- 2 x}$

Этап 2

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 3

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = 12 + 2 e^{- 2 (x + h)}$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 12 + 2 e^{- 2 x - 2 h}$

Этап 3.1.2.2

Окончательный ответ: $12 + 2 e^{- 2 x - 2 h}$ .

$12 + 2 e^{- 2 x - 2 h}$

Этап 3.2

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = 12 + 2 e^{- 2 x - 2 h}$

$f (x) = 12 + 2 e^{- 2 x}$

$f (x + h) = 12 + 2 e^{- 2 x - 2 h}$

$f (x) = 12 + 2 e^{- 2 x}$

Этап 4

Подставим компоненты.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{12 + 2 e^{- 2 x - 2 h} - (12 + 2 e^{- 2 x})}{h}$

Этап 5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{12 + 2 e^{- 2 x - 2 h} - 1 \cdot 12 - (2 e^{- 2 x})}{h}$

Этап 5.2

Умножим $- 1$ на $12$ .

$\frac{12 + 2 e^{- 2 x - 2 h} - 12 - (2 e^{- 2 x})}{h}$

Этап 5.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{12 + 2 e^{- 2 x - 2 h} - 12 - 2 e^{- 2 x}}{h}$

Этап 5.4

Вычтем $12$ из $12$ .

$\frac{2 e^{- 2 x - 2 h} + 0 - 2 e^{- 2 x}}{h}$

Этап 5.5

Добавим $2 e^{- 2 x - 2 h}$ и $0$ .

$\frac{2 e^{- 2 x - 2 h} - 2 e^{- 2 x}}{h}$

Этап 5.6

Перепишем $2 e^{- 2 x - 2 h} - 2 e^{- 2 x}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Вынесем множитель $2$ из $2 e^{- 2 x - 2 h} - 2 e^{- 2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 e^{- 2 x - 2 h}$ .

$\frac{2 e^{- 2 x - 2 h} - 2 e^{- 2 x}}{h}$

Этап 5.6.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 e^{- 2 x}$ .

$\frac{2 e^{- 2 x - 2 h} + 2 (- e^{- 2 x})}{h}$

Этап 5.6.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 e^{- 2 x - 2 h} + 2 (- e^{- 2 x})$ .

$\frac{2 (e^{- 2 x - 2 h} - e^{- 2 x})}{h}$

Этап 5.6.2

Перепишем $e^{- 2 x - 2 h}$ в виде ${(e^{- x - h})}^{2}$ .

$\frac{2 ({(e^{- x - h})}^{2} - e^{- 2 x})}{h}$

Этап 5.6.3

Перепишем $e^{- 2 x}$ в виде ${(e^{- x})}^{2}$ .

$\frac{2 ({(e^{- x - h})}^{2} - {(e^{- x})}^{2})}{h}$

Этап 5.6.4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = e^{- x - h}$ и $b = e^{- x}$ .

$\frac{2 (e^{- x - h} + e^{- x}) (e^{- x - h} - e^{- x})}{h}$

Этап 6