Основы мат. анализа Примеры

$f (t) = e^{\sin (t)} \cos (t)$ , $[0, \frac{π}{2}]$

Этап 1

Запишем $f (t) = e^{\sin (t)} \cos (t)$ в виде уравнения.

$y = e^{\sin (t)} \cos (t)$

Этап 2

Подставим, используя формулу средней скорости изменения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Среднюю скорость изменения функции можно найти, вычислив разность значений $y$ в двух точках и поделив на разность значений $t$ этих двух точек.

$\frac{f (\frac{π}{2}) - f (0)}{(\frac{π}{2}) - (0)}$

Этап 2.2

Подставим уравнение $y = e^{\sin (t)} \cos (t)$ в $f (\frac{π}{2})$ и $f (0)$ , заменив $t$ в функции соответствующим значением $t$ .

$\frac{(e^{\sin (\frac{π}{2})} \cos (\frac{π}{2})) - (e^{\sin (0)} \cos (0))}{(\frac{π}{2}) - (0)}$

Этап 3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим числитель и знаменатель дроби на $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим $\frac{e^{\sin (\frac{π}{2})} \cos (\frac{π}{2}) - e^{\sin (0)} \cos (0)}{\frac{π}{2} - (0)}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{e^{\sin (\frac{π}{2})} \cos (\frac{π}{2}) - e^{\sin (0)} \cos (0)}{\frac{π}{2} - (0)}$

Этап 3.1.2

Объединим.

$\frac{2 (e^{\sin (\frac{π}{2})} \cos (\frac{π}{2}) - e^{\sin (0)} \cos (0))}{2 (\frac{π}{2} - (0))}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (e^{\sin (\frac{π}{2})} \cos (\frac{π}{2})) + 2 (- e^{\sin (0)} \cos (0))}{2 \frac{π}{2} + 2 (- (0))}$

Этап 3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (e^{\sin (\frac{π}{2})} \cos (\frac{π}{2})) + 2 (- e^{\sin (0)} \cos (0))}{2 \frac{π}{2} + 2 (- (0))}$

Этап 3.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 (e^{\sin (\frac{π}{2})} \cos (\frac{π}{2})) + 2 (- e^{\sin (0)} \cos (0))}{π + 2 (- (0))}$

Этап 3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$\frac{2 e^{1} \cos (\frac{π}{2}) + 2 (- e^{\sin (0)} \cos (0))}{π + 2 (- (0))}$

Этап 3.4.2

Упростим.

$\frac{2 e \cos (\frac{π}{2}) + 2 (- e^{\sin (0)} \cos (0))}{π + 2 (- (0))}$

Этап 3.4.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$\frac{2 e \cdot 0 + 2 (- e^{\sin (0)} \cos (0))}{π + 2 (- (0))}$

Этап 3.4.4

Умножим $2 e \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Умножим $0$ на $2$ .

$\frac{0 e + 2 (- e^{\sin (0)} \cos (0))}{π + 2 (- (0))}$

Этап 3.4.4.2

Умножим $0$ на $e$ .

$\frac{0 + 2 (- e^{\sin (0)} \cos (0))}{π + 2 (- (0))}$

Этап 3.4.5

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{0 + 2 (- e^{0} \cos (0))}{π + 2 (- (0))}$

Этап 3.4.6

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{0 + 2 (- 1 \cdot 1 \cos (0))}{π + 2 (- (0))}$

Этап 3.4.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0 + 2 (- 1 \cos (0))}{π + 2 (- (0))}$

Этап 3.4.8

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{0 + 2 (- 1 \cdot 1)}{π + 2 (- (0))}$

Этап 3.4.9

Умножим $2 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.9.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0 + 2 \cdot - 1}{π + 2 (- (0))}$

Этап 3.4.9.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{0 - 2}{π + 2 (- (0))}$

Этап 3.4.10

Вычтем $2$ из $0$ .

$\frac{- 2}{π + 2 (- (0))}$

Этап 3.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Умножим $2 (- (0))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{- 2}{π + 2 \cdot 0}$

Этап 3.5.1.2

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{- 2}{π + 0}$

Этап 3.5.2

Добавим $π$ и $0$ .

$\frac{- 2}{π}$

Этап 3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{π}$