Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = e^{x - 3} + 2$ , $[3, 6]$

Этап 1

Запишем $f (x) = e^{x - 3} + 2$ в виде уравнения.

$y = e^{x - 3} + 2$

Этап 2

Подставим, используя формулу средней скорости изменения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Среднюю скорость изменения функции можно найти, вычислив разность значений $y$ в двух точках и поделив на разность значений $x$ этих двух точек.

$\frac{f (6) - f (3)}{(6) - (3)}$

Этап 2.2

Подставим уравнение $y = e^{x - 3} + 2$ в $f (6)$ и $f (3)$ , заменив $x$ в функции соответствующим значением $x$ .

$\frac{(e^{(6) - 3} + 2) - (e^{(3) - 3} + 2)}{(6) - (3)}$

Этап 3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вычтем $3$ из $6$ .

$\frac{e^{3} + 2 - (e^{3 - 3} + 2)}{6 - (3)}$

Этап 3.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Вычтем $3$ из $3$ .

$\frac{e^{3} + 2 - (e^{0} + 2)}{6 - (3)}$

Этап 3.1.2.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{e^{3} + 2 - (1 + 2)}{6 - (3)}$

Этап 3.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{e^{3} + 2 - 1 \cdot 3}{6 - (3)}$

Этап 3.1.4

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{e^{3} + 2 - 3}{6 - (3)}$

Этап 3.1.5

Вычтем $3$ из $2$ .

$\frac{e^{3} - 1}{6 - (3)}$

Этап 3.1.6

Перепишем $e^{3} - 1$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.6.1

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$\frac{e^{3} - 1^{3}}{6 - (3)}$

Этап 3.1.6.2

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = e$ и $b = 1$ .

$\frac{(e - 1) (e^{2} + e \cdot 1 + 1^{2})}{6 - (3)}$

Этап 3.1.6.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.6.3.1

Умножим $e$ на $1$ .

$\frac{(e - 1) (e^{2} + e + 1^{2})}{6 - (3)}$

Этап 3.1.6.3.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{(e - 1) (e^{2} + e + 1)}{6 - (3)}$

Этап 3.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{(e - 1) (e^{2} + e + 1)}{6 - 3}$

Этап 3.2.2

Вычтем $3$ из $6$ .

$\frac{(e - 1) (e^{2} + e + 1)}{3}$